Equazioni differenziali ordinarie 22

Problema di Cauchy

Sia u: ℝ → ℝ la soluzione del problema di Cauchy

u^″(x) + u(x) = 3x

u(0) = 0

u^′(0) = 4.

Calcolare u^′(2π) + u(π)/π.

Risoluzione dell’equazione differenziale

L’equazione caratteristica risulta essere

λ² + 1 = 0

che ha come soluzioni λ = ±i. Quindi le soluzioni dell’equazione omogenea sono date da

ū(x) = c₁ cos x + c₂ sin x.

Il secondo membro è di tipo polinomiale, e 3 non è radice caratteristica, per cui cerchiamo, come soluzione particolare, un polinomio del tipo u_p(x) = ax. Si vede subito che u_p(x) = 3x è soluzione particolare, essendo u_p^″(x) = 0.

Allora l’integrale generale dell’equazione data è

u(x) = c₁ cos x + c₂ sin x + 3x.

Applicazione delle condizioni iniziali

La condizione u(0) = 0 fornisce c₁ = 0; poi si ha

u^′(x) = c₂ cos x + 3

da cui u^′(0) = 4 se e solo se c₂ = 1. Quindi la soluzione è data da

u(x) = sin x + 3x

da cui u^′(x) = cos x + 3, e dunque

u^′(2π) + u(π)/π = 4 + 3π/π = 7.