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Problema di Cauchy
Sia u: R+ -> R la soluzione del problema di Cauchy.
x u'(x) + 2u(x) = 0
u(1) = 3.
Calcolare u''(1) e 8u'(2).
Soluzione
Per quanto riguarda la prima richiesta, non è necessario risolvere l'equazione. Infatti si ha
u'(1) + 2u(1) = 0
da cui u'(1) = -6; derivando l'equazione si trova
u'(x) + xu''(x) + 2u'(x) = 0
da cui u''(1) = -3u'(1) = 18. Risolviamo ora l'equazione data; si ha
u(x) = ce- log (x2) = c⁄x2.
Inserendo la condizione iniziale si trova ovviamente c = 3. Ne segue che
u'(x) = -6⁄x3
da cui 8u'(2) = -6.
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