Equazioni differenziali ordinarie 15

Problema di Cauchy

Sia u: ℝ → ℝ la soluzione del problema di Cauchy:

u^″(x) − 6u^′(x) − 7u(x) = 0
u(0) = 3
u^′(0) = 5.

Calcolo di u^″(0) e u(1)

Calcolare u^″(0) e u(1).

Si ha soluzione.

u^″(0) = 6u^′(0) + 7u(0) = 51.

Quanto alla seconda richiesta, calcoliamo l’integrale generale. L’equazione caratteristica è data da

λ² − 6λ − 7 = 0

che ha come soluzioni λ = 7 e λ = −1. Quindi l’integrale generale è dato da

u(x) = c₁e^7x + c₂e^−x.

Imponendo la condizione u(0) = 3 si trova c₁ + c₂ = 3; si ha poi

u^′(x) = 7c₁e^7x − c₂e^−x,

da cui u^′(0) = 5 fornisce 7c₁ − c₂ = 5. Quindi si ha c₁ = 1 e c₂ = 2. Ne segue che la soluzione particolare è data da

u(x) = e^7x + 2e^−x.

Quindi u(1) = e⁷ + 2e⁻¹.