Equazioni differenziali ordinarie 15

Sia u : → la soluzione del problema di Cauchy

R R  ′′ ′

u (x) − 6u (x) − 7u(x) = 0

 u(0) = 3

′

u (0) = 5.



′′

Calcolare u (0) e u(1).

Si ha

soluzione. ′′ ′

u (0) = 6u (0) + 7u(0) = 51.

Quanto alla seconda richiesta, calcoliamo l’integrale generale. L’equazione caratteristica è data

da 2

λ − 6λ + 7 = 0

che ha come soluzioni λ = 7 e λ = −1. Quindi l’integrale generale è dato da

1 2 7x −x

u(x) = c e + c e .

1 2

Imponendo la condizione u(0) = 3 si trova c + c = 3; si ha poi

1 2

′ 7x −x

u (x) = 7c e − c e ,

1 2

′

da cui u (0) = 5 fornisce 7c − c = 5. Quindi si ha c = 1 e c = 2. Ne segue che la soluzione

1 2 1 2

particolare è data da 7x −x

u(x) = e + 2e .

7 −1

Quindi u(1) = e + 2e .