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Risolvere il problema di Cauchy
u'(x) = xu2(x) log x
u(1) = 4.
Soluzione
L'equazione data è a variabili separabili; calcoliamo dunque
1/u2 du = -1/u + k1
e
x log x dx = x2/2 log x - x2/2 1/x dx =
x2(2 log x - 1)/4 + k2.
Ne segue che la soluzione è data da
-1/u(x) = x2(2 log x - 1)/4 + c c ∈ R
da cui
u(x) = 4/(x2(1 - 2 log x) + c).
Per trovare la soluzione particolare, imponiamo u(1) = 4:
4 = u(1) = 4/(1 + c)
da cui c = 0. Ne segue che la soluzione particolare è (localmente):
u(x) = 4/(x2(1 - 2 log x)).
Osserviamo che è sempre u > 0; tale soluzione è quindi definita in tutto (0, +∞).
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