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Discutere la derivabilità della seguente funzione definita su tutto R
f(x) = { 0, x = 0; x sin(1/x), x != 0 }
Soluzione
Dal grafico si intuisce che f è continua anche in x = 0; in effetti
0 <= |x sin(1/x)| <= |x|.
Dal Teorema del confronto per i limiti, si ha che
limx->0 x sin(1/x) = 0.
La derivata prima in x = 0 pare non esistere; in effetti
limh->0 h sin(1/h) / h = limh->0 sin(1/h)
non esiste. Dunque, la funzione data non è derivabile in x = 0.
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