Derivata 11

Discutere la derivabilità della seguente funzione definita su tutto R:

f(x) = x R:

f(x) = 0 x = 0 x sin x ≠ 0.

soluzione. Dal grafico

si intuisce che f è continua anche in x = 0; in effetti

0 ≤ |x sin ( ) ≤ |x|.

Dal Teorema del confronto per i limiti, si ha che

lim x sin ( ) = 0.

La derivata prima in x = 0 pare non esistere; in effetti

lim h sin ( ) = lim sin ( )

non esiste. Dunque, la funzione data non è derivabile in x = 0.