Massimi e minimi funzioni di due variabili

Verificare che la seguente equazione

3² 2 3 3

F (x, y) = x³ − x²y + xy³ − y³ − 1 = 0

definisce una funzione y = f (x) in un intorno di (1, 0). Calcolare la retta tangente alla curva

{(x, y) : F (x, y) = 0} nel punto (1, 0).

Soluzione

Si ha

∂F/∂y (x, y) = −x² + 3xy² − 3y²,

da cui ∂F/∂y (1, 0) = −1.

Essendo F (1, 0) = 0 si ha, per il Teorema delle funzioni implicite, che esiste una funzione regolare

f : U → R, con U intorno di 1, tale per cui F (x, y) = 0 se e solo se y = f (x) per ogni x ∈ U.

Dunque F (x, f (x)) = 0 per ogni x ∈ U, da cui deriva

d/dx F (x, f (x)) = 0, ∀x ∈ U.

Ora F (x, f (x)) = x³ − x²f (x) + xf (x)³ − f (x)³ − 1, per cui derivando si ha

3x² − 2xf (x) − x²f′ (x) + f (x)³ + 3xf (x)²f′ (x) − 3f (x)²f′ (x) = 0.

Essendo f (1) = 0 si ha 3 − f′ (1) = 0, ossia f′ (1) = 3. La retta tangente alla curva data in (1, 0)

ha quindi equazione y = 3(x − 1).