Massimi e minimi funzioni di due variabili

Verificare che la seguente equazione

3 2 3 3

F (x, y) = x − x y + xy − y − 1 = 0

definisce una funzione y = f (x) in un intorno di (1, 0). Calcolare la retta tangente alla curva

{(x, y) : F (x, y) = 0} nel punto (1, 0).

Si ha

soluzione. ∂F 2 2 2

(x, y) = −x + 3xy − 3y ,

∂y

da cui ∂F (1, 0) = −1.

∂y

Essendo F (1, 0) = 0 si ha, per il Teorema delle funzioni implicite, che esiste una funzione regolare

f : U → con U intorno di 1, tale per cui F (x, y) = 0 se e solo se y = f (x) per ogni x ∈ U .

R,

Dunque F (x, f (x)) = 0 per ogni x ∈ U , da cui deriva

d F (x, f (x)) = 0, ∀x ∈ U.

dx

3 2 3 3

Ora F (x, f (x)) = x − x f (x) + xf (x) − f (x) − 1, per cui derivando si ha

2 2 ′ 3 2 ′ 2 ′

3x − 2xf (x) − x f (x) + f (x) + 3xf (x)f (x) − 3f (x)f (x) = 0.

′ ′

Essendo f (1) = 0 si ha 3 − f (1) = 0, ossia f (1) = 3. La retta tangente alla curva data in (1, 0)

ha quindi equazione y = 3(x − 1).