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Calcolare |x|kex, k ∈ N+
lim |x|kex
x→−∞
Soluzione
Il limite dato si presenta in forma indeterminata ∞ · 0; lo riscriviamo come
lim (−x)k
x→−∞
e−x
la quale stavolta è una forma indeterminata ∞ / ∞.
Posto f(x) = (−x)k e g(x) = e−x, si ha
f (x)
g (x)
=
k(−x)k−1
−e−x
= −k(−x)k−1 / e−x.
Derivando ancora si ha
f″(x)
g″(x)
=
k(k − 1)(−x)k−2
e−x.
Se deriviamo fino a quando l’esponente di x al numeratore diventa 0, allora otteniamo una espressione del tipo
c
e−x
con c ∈ R, la quale ha limite 0 per x → −∞. Per il Teorema di de l’Höpital allora
lim |x|k ex = 0.
x→−∞
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