Appunti di scuola e università per tutte le materie

La prima legge della termodinamica spiega come il calore assorbito da un sistema si trasformi in lavoro e variazione di energia interna. Un principio chiave della conservazione dell’energia, utile per capire processi come vaporizzazione e scambi term...

La struttura cristallina descrive l’ordinamento regolare di atomi, ioni o molecole nei solidi. Approfondisci reticoli, celle elementari e modelli cubici per capire come nasce la forma dei cristalli comuni.

Panoramica chiara sugli insiemi numerici N, Z e Q: proprietà delle operazioni, relazioni d’ordine, divisione euclidea, divisori, multipli, numeri primi, MCD, mcm e frazioni equivalenti, con esempi di calcolo e applicazioni di base.

Panoramica sulle coniche: circonferenza, ellisse, parabola e iperbole, con definizioni, equazioni canoniche, fuochi, vertici e asintoti. Una guida chiara per comprendere i luoghi geometrici nel piano.

Panoramica su dilatazioni, simmetrie e affinità nel piano cartesiano: proprietà, punti fissi e isometrie. L’unità mostra anche come queste trasformazioni modificano il grafico delle rette e introducono funzioni pari e dispari.

Le progressioni geometriche sono successioni in cui il rapporto tra termini consecutivi resta costante. Scopri definizione, ragione, formula del termine n-simo ed esempi pratici con crescita, decrescita e interesse composto.

Approfondisci le trasformazioni del piano nel loro aspetto analitico e matriciale: isometrie, simmetrie, rotazioni e traslazioni, con formule, coordinate e interpretazione geometrica per comprendere il comportamento dei punti nel piano.

Panoramica sulle isometrie nello spazio con approccio analitico e matriciale: traslazioni, proiezione ortogonale su un piano e simmetrie, con formulazione in coordinate, matrici associate e criteri di invertibilità.

Analisi della serie al variare di λ ≥ 0: si applica il criterio della radice per stabilire convergenza o divergenza. Il testo mostra come individuare la soglia λ = 1/4 e verificare il caso limite separatamente.

Si dimostra, con il criterio integrale, la convergenza della serie somma di 1 diviso n per (log n)^q per q maggiore di 1 e la divergenza per q minore o uguale a 1, analizzando l’asintotico con la sostituzione t uguale log x.

Analisi del dominio di una funzione di due variabili con radici e logaritmi: si ricavano le condizioni di esistenza, si descrivono i vincoli su x e y e si stabilisce se l’insieme è aperto, chiuso o né aperto né chiuso.

Analisi del limite di una funzione di due variabili nell’origine: si verifica la dipendenza dal cammino di avvicinamento con una parabola y = αx². La soluzione mostra che il valore non è univoco, quindi il limite non esiste.

Analisi guidata di continuità e differenziabilità per una funzione di due variabili: si verifica il limite in (0,0), si calcolano le derivate parziali e si mostra, con un controesempio lungo rette diverse, che la funzione non è differenziabile.

Spiega come trovare il piano tangente a una superficie data da z = e-7xy + 7y2 nel punto assegnato, usando derivate parziali e formula del piano. Include il calcolo di g(-1, 2) come applicazione del metodo.

Guida alla ricerca e classificazione dei punti stazionari di funzioni in due variabili, con l’uso di gradiente e Hessiano per distinguere massimi, minimi e punti di sella in un esempio svolto chiaro e completo.

Guida al calcolo di massimi e minimi assoluti di una funzione di due variabili su una circonferenza: sostituzione con una variabile e moltiplicatori di Lagrange, con determinazione dei punti critici, confronto dei valori e del bordo.

Guida completa al calcolo di massimi e minimi per funzioni di due variabili: punti critici, gradiente, matrice Hessiana e criteri di classificazione tra massimo, minimo e punto di sella, con esempio svolto e risultato commentato.

Calcola il flusso di un campo vettoriale lungo il bordo di un trapezio usando il teorema della divergenza piano. Un esempio svolto di integrali di linea con dominio, integranda e passaggi di soluzione.

Esercizio guidato sulle derivate: calcolo di f′(0) per funzioni logaritmiche, goniometriche, esponenziali e inverse. Utile per allenare regole di derivazione, prodotti e composizioni in modo chiaro e progressivo.

Esercizi svolti sul calcolo della derivata e della retta tangente: si determinano le equazioni nel punto dato e i valori richiesti per funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.