Massimi e minimi di funzioni in due variabili 10

Revisionato il 26/10/2026

di lussardi

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Guida alla ricerca e classificazione dei punti stazionari di funzioni in due variabili, con l’uso di gradiente e Hessiano per distinguere massimi, minimi e punti di sella in un esempio svolto chiaro e completo.

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Trovare e classificare tutti i punti stazionari di f(x, y, z) = sin x − y² − e^z²

Soluzione. f = 0 porta al sistema:

cos x = 0

−2y = 0

−2ze^z² = 0

che ha come soluzioni P_k = (π / 2 + k, 0, 0), con k ∈ Z. L’Hessiano di f è dato da:

H = (−sin x 0 0; 0 −2 0; 0 0 −2e^z² − 4z²e^z²).

Ne segue che:

H(P_k) = ((−1)^k+1 0 0; 0 −2 0; 0 0 −2)

che ha autovalori strettamente negativi se k è pari, da cui P_k punti di massimo, mentre ha autovalori di segno alterno se k è dispari, da cui P_k punti di sella.

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