Appunti di scuola e università per tutte le materie

Guida alla formula di Taylor di II ordine per funzioni di due variabili: calcolo di derivate prime, seconde e del termine di resto nel punto (0,0), con esempio completo su f(x,y)=xy+sin(x+y) e applicazione passo passo.

Studio dei massimi e minimi vincolati di una funzione in due variabili: si applica il metodo dei moltiplicatori di Lagrange a una curva ellittica per trovare i punti della distanza massima e minima dall’origine.

Guida al calcolo del limite per x che tende a più infinito con funzioni trigonometriche e razionali: si applicano limitatezza del coseno, confronto dei termini dominanti e algebra dei limiti per ottenere il risultato finale.

Guida al calcolo dell’integrale di linea lungo una curva chiusa con il teorema di Green-Stokes. Esempio svolto su un poligono piano, con determinazione del flusso e dell’area per ottenere il risultato finale.

Panoramica sull’area della superficie di rotazione: formula parametrica, derivazione del modulo del prodotto vettoriale e calcolo dell’integrale che porta a 2π∫ab y√(1+(g'(y))2)dy, con passaggi chiari e rigorosi.

Esercizio guidato sulle derivate: verifica l’esistenza dell’inversa di alcune funzioni, studia la monotonia e calcola le derivate della funzione inversa nei punti richiesti usando il teorema di derivazione dell’inversa.

Esercizio svolto su massimi e minimi: studio della funzione f(x)=3+2x^6-3x^4, individuazione dei punti critici, classificazione di massimi e minimi locali e calcolo della somma dei valori nei due minimi.

Analisi completa della derivabilità della funzione x²sin(1/x), definita anche in 0, con verifica di continuità, calcolo della derivata in 0 e studio della derivata prima. Esercizio svolto con grafico e conclusioni.

Risolvere un problema di Cauchy per un’equazione differenziale ordinaria a variabili separabili: integrazione, costante d’integrazione e uso della condizione iniziale per ottenere la soluzione esplicita e il suo dominio.

Calcola la soluzione generale dell’equazione differenziale ordinaria lineare omogenea u''(x) − 6u'(x) + 13u(x) = 0. Si risolve con l’equazione caratteristica, trovando le radici complesse e l’integrale generale in forma esponenziale e trigonometrica.

Esercizio sulle equazioni differenziali ordinarie con problema di Cauchy: calcolo di derivate, condizione iniziale e soluzione esplicita dell’ODE. Utile per ripassare metodo risolutivo e verifica dei risultati.

Spiegazione guidata della risoluzione di un problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti, con polinomio caratteristico, soluzioni dell’omogenea e determinazione della soluzione particolare.

Panoramica sulla soluzione di un problema di Cauchy per un’equazione differenziale ordinaria lineare, con integrazione del coefficiente e calcolo della soluzione particolare, spiegati in modo chiaro e passo dopo passo.

Scopri come approssimare la somma della serie alternata ∑(-1)^(n+1)/n^3 con errore inferiore a 10^-2 usando il criterio di Leibniz e il resto delle somme parziali, fino a ottenere un valore preciso con n=4.

Analisi del carattere della serie data tramite confronto asintotico: si studiano il limite di sin(1/n)/(1/n) e il comportamento di √(n^5+1). La serie è confrontata con 1/n^(3/2) e risulta convergente.

Analisi del dominio di una funzione di due variabili con arcsin, studio dei vincoli su x e y e verifica di limitatezza e connessione per archi. Esempio risolto con interpretazione geometrica del dominio nel piano.

Analisi della continuità nell’origine per funzioni di due variabili: studio del limite, passaggio alle coordinate polari e applicazione del teorema del confronto per verificare se la funzione è continua nel punto (0,0).

Analisi del calcolo del piano tangente per una funzione di due variabili: verifica della differenziabilità in un punto, calcolo delle derivate parziali e determinazione dell’equazione del piano tangente al grafico.

Analisi di un esercizio sulle funzioni implicite in due variabili: verifica l’esistenza di y=f(x) vicino a (0,0) e mostra, con le derivate parziali, che la funzione ottenuta ha un punto critico in origine.

Guida ai massimi e minimi liberi di una funzione di due variabili: si trovano i punti critici risolvendo il gradiente nullo, poi si usa l’Hessiano per distinguere massimi, minimi e punti di sella con un esempio completo.