Massimi e minimi di funzioni in due variabili 16

Trovare massimi e minimi assoluti della funzione

f(x, y) = x³ + y² − x + 1

sulla circonferenza di equazione

x² + y² = 4

a) sostituendo le coordinate (x, y) del generico punto variabile sulla circonferenza con delle funzioni di una sola variabile;

b) con il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange.

Soluzione

a) Sostituzione delle coordinate

Sostituendo i due archi di circonferenza

y = ±√(4 − x²)

si ottiene una funzione di una sola variabile data da

g(x) = x³ − x² − x + 5.

Dunque i punti critici di tale funzione sono dati da

g′(x) = 3x² − 2x − 1 = 0

che ha come soluzioni

x = 1 e x = −1/3.

Intanto si hanno 4 punti critici per f:

P₁ = (1, ±√3), P₂ = (−1/3, ±√35/3).

Se calcoliamo il valore di f in tali punti, si ha

f(P₁) = 4, f(P₂) = 142/27.

Osserviamo che tale metodo esclude lo studio del bordo degli archi di circonferenza sostituiti nella funzione; su tale bordo si ha

f(2, 0) = 7, f(−2, 0) = −5

e quindi, confrontando, (2, 0) e (−2, 0) sono il massimo ed il minimo assoluti di f sulla circonferenza data.

b) Metodo dei Moltiplicatori di Lagrange

Con il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange, che si può applicare in quanto molto facilmente si verificano le proprietà necessarie di g, si ha

φ(x, y, λ) = x³ + y² − x + 1 + λ(x² + y² − 4)

che ha come punti critici le soluzioni del sistema

3x² − 1 + 2λx = 0

2y + 2λy = 0

x² + y² = 4

cioè

(±2, 0), (1, ±√3), (−1/3, ±√35/3)

che sono gli stessi punti del punto a); si conclude quindi come sopra.