Massimi e minimi di funzioni in due variabili 16

Trovare massimi e minimi assoluti della funzione

3 2

f (x, y) = x + y − x + 1

sulla circonferenza di equazione 2 2

x + y = 4

a) sostituendo le coordinate (x, y) del generico punto variabile sulla circonferenza con delle

funzioni di una sola variabile;

b) con il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange.

soluzione.

a) Sostituendo i due archi di circonferenza p 2

4 − x

y = ±

si ottiene una funzione di una sola variabile data da

3 2

g(x) = x − x − x + 5.

Dunque i punti critici di tale funzione sono dati da

′ 2

g (x) = 3x − 2x − 1 = 0

che ha come soluzioni 1

x = 1 x = − .

1 2 3

Intanto si hanno 4 punti critici per f : √

√ 35

1

.

, ±

P = (1, ± 3) P = −

1/2 3/4 3 3

Se calcoliamo il valore di f in tali punti, si ha 142

f (P ) = 4 f (P ) = .

1/2 3/4 27

Osserviamo che tale metodo esclude lo studio del bordo degli archi di circonferenza sostituiti

nella funzione; su tale bordo si ha

f (2, 0) = 7 f (−2, 0) = −5

e quindi, confrontando, (2, 0) e (−2, 0) sono il massimo ed il minimo assoluti di f sulla

circonferenza data.

b) Con il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange, che si può applicare in quanto molto facilmente

si verificano le proprietà necessarie di g, si ha

3 2 2 2

φ(x, y, λ) = x + y − x + 1 + λ(x + y − 4)

che ha come punti critici le soluzioni del sistema

 2

3x − 1 + 2λx = 0

 2y + 2λy = 0

2 2

x + y = 4



cioè √

√ 1 35

3) − , ±

(±2, 0) (1, ± 3 3

che sono gli stessi punti del punto a); si conclude quindi come sopra.