Circonferenza, ellisse, parabola, iperbole

Le coniche

Fino ad ora abbiamo visto che tutte le rette possono essere scritte nella forma: ax + by + c = 0. È una relazione lineare in x ed y.

Più in seguito verranno illustrati altri luoghi. I luoghi geometrici del piano che fanno parte delle figure delle coniche con la relazione seguente:

ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0

Questa relazione comprende sia dei termini lineari in x ed y che dei termini quadratici (relazione quadratica in x ed y).

Questi luoghi geometrici vengono denominati coniche perché possono essere visti come delle particolari intersezioni di un piano con un cono.

Nello spazio tridimensionale si prende una retta "a" ed una retta "r" che si intersecano nel punto V. L'angolo < 90°. Generiamo una rotazione completa di "r" attorno ad "a" e otteniamo un cono rotondo indefinito.

Le rette di cui si parlerà possono essere viste come le intersezioni della superficie che abbiamo generato, con dei piani.

Circonferenza

C'è il luogo geometrico dei punti che hanno distanza r da un punto C fissato.

Prendendo un generico punto P(x,y) imponiamo le condizioni che la distanza di P da C sia una costante r; si ottiene l'equazione della circonferenza:

È del tipo: (x-x₀)² + (y-y₀)² = r² e questa equazione coincide con quella generale delle coniche:

x² + y² - 2x₀x - 2y₀y + x₀² + y₀² - r² = 0

dove: a = b = 1; c = 0; d = -2x₀; e = -2y₀; f = x₀² + y₀² - r²;

Ellisse

Descriveremo l'ellisse di centro l'origine "O", semiasse maggiore "a", semiasse minore "b":

x²/a² + y²/b² = 1

fuochi: (-c,0) e (c,0)

con c = sqrt(a² - b²)

Costruzione dell'ellisse

Fisso i due punti del piano F ed F' (fuochi) ed un numero reale positivo 2a, si dice ellisse il luogo geometrico dei punti per cui è costante (ed uguale a 2a) la somma delle distanze dai fuochi.

PF' + PF = 2a

Metodo del giardiniere

È un metodo di costruzione dell'ellisse che utilizza due pali, una fune, un pennello. La fune deve essere non estensibile.

Ai due pali si lega la corda in modo tale che la parte libera risulti più lunga della distanza fra i pali ed uguale all'asse maggiore dell'ellisse che si vuole ottenere.

Col pennello si tende la corda e la si fa scorrere sul terreno facendo sì che i due lati della corda risultino sempre tesi.

Le tracce che ne derivano sono costituite da punti la cui somma delle distanze dai due fuochi è costante e coincide con la parte libera della corda.

Analiticamente definiamo la situazione in cui i due fuochi sono posizionati sull'asse delle ascisse.

FF^' = 2c

O (punto medio)

In un teorema di geometria euclidea, ci dice che in un triangolo la somma di due lati è sempre maggiore del terzo lato.

Quindi 2a = PF + PF^'; 2c = FF^'

2a > 2c; a > c

Quindi la distanza "c" tra i fuochi deve essere minore della costante che si è fissato:

F = (c,0); F^' = (-c,0); P(x,y)

sqrt((x-c)² + y²) + sqrt((x+c)² + y²) = 2a   (distanze di due punti)

sqrt(x² + c² + 2cx + y²) = a² + cx;

(a² - c²)x² + a²y² = a²(a² - c²)

(a² - c²) è una quantità positiva perché a > c quindi posso indicarla con b².

Si ottiene:

b²x² + a²y² = a²b²;

x²/a² + y²/b² = 1

Equazione canonica dell'ellisse

Se y = 0 allora: x² / a² = 1; x = a, -a

Se x = 0 allora: y² / b² = 1; y = b, -b

A, A', B, B' sono detti vertici dell'ellisse, l'origine è detto centro, l'asse che contiene i fuochi è detto asse focale. AA' è detto asse maggiore, BB' è detto asse minore. I numeri "a" e "b" sono detti semiassi dell'ellisse.

Un'altra strategia da descrivere potrebbe essere quella di scegliere i fuochi non più sulle ascisse, ma sulle ordinate. Si fissa y.

L'equazione che si ottiene è del tipo:

x² / b² + y² / a² = 1

Iperbole

Fissati i fuochi F ed F', fissato 2a, si dice iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante (2a = 2a) la differenza delle distanze dai fuochi.

In questo caso PF - PF' = 2a; nel caso opposto allora PF' - PF = 2a.

Facciamo, come per l'ellisse, il caso in cui i fuochi siano sull'asse delle ascisse. Il punto medio è in O.

F' (-c, 0), F (c, 0), P (x, y)

[(x - c)² + y²]^1/2 - [(x + c)² + y²]^1/2 = 2a

Oppure scrivendo in forma generale ed elevando al quadrato, le differenze di segno scompaiono.

Risulta:

(c² - a²)x² - a²y² = a²(c² - a²)

c = FF'/2, 2a = differenza delle misure degli altri due lati del triangolo. Cioè a

Quindi la quantità (c² - a²) è positiva e la possiamo scrivere come c² - a² = b².

Quindi ottengo: b²x² - a²y² = a²b²

x²/a² - y²/b² = 1

Equazione canonica dell'iperbole

y = 0, x = a, -a

L'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse è nei punti che hanno ascisse "a" e "-a" rispettivamente.

es.

C', A', A, F

(-c, 0), (-a, 0), (a, 0), (c, 0)

x = 0, -y²/b² = 1. Non si ha soluzione reale, al primo membro ho una quantità negativa che viene eguagliata ad 1.

Quindi l'iperbole non ha intersezione con l'asse delle ordinate.

L'origine è detto centro e l'asse che contiene i fuochi è detto asse focale o trasverso.

Retta x = a parallela all'asse y (passante per A)

K (a, b)

A (a, 0)

K (a, -b)

Asintoti

Le rette passanti per OH ed OK sono dette asintoti dell'iperbole. Non esistono punti di intersezione fra queste rette e l'iperbole.

La distanza che c'è tra un punto dell'iperbole avente una certa ascissa e l'asintoto, è una quantità che diminuisce man mano che consideriamo punti sempre più lontani dall'origine sia sull'asse reale positivo che negativo. Tende però verso lo zero con ascisse che tende all'infinito.

Quindi: l'iperbole di centro l'origine, semiasse focale "a", semiasse non focale "b"

x²/a² - y²/b² = 1     fuochi (-c,0) e (c,0)

con c = a² + b²

ASINTOTI: y = b/a x

y = -b/a x

Se a = b; x² - y² = a², iperbole equilatera

con asintoti: (y = b/a x) (y = -b/a x)

y = x         y = -x

Si vede che gli asintoti di una iperbole equilatera sono rette perpendicolari fra loro.

Un caso interessante da considerare è il caso in cui i punti siano simmetrici rispetto ad equatore y = x.

Si fissa un punto con coordinate (a, a) e si ha un punto simmetrico con coordinate (-a, -a) e, ripetendo tutto il procedimento visto prima, otteniamo l'equazione xy = a²/2.

Questa equazione contiene il termine xy da tenere in considerazione per gli studi futuri.

Questa relazione può essere scritta anche così:

y = a²/2 · 1/x

y = k/x

Importante quando si introdurrà il concetto di funzione.

Riassumendo i due casi illustrati in ultimo, essi sono:

Iperbole equilatera: x² - y² = a²

Iperbole con centro l'origine e fuochi in (a, a) e (-a, -a): xy = a²/2

Parabola

Fissato un punto F (fuoco) ed una retta r (direttrice), si definisce parabola il luogo geometrico dei punti che hanno uguale distanza da F e da r.

M soddisfa sicuramente questa relazione; quindi consideriamo l'esempio in cui l'origine è nel punto medio M ed r sia uno degli assi x o y.

es.

F(0,p)

P(x,y)

In questo esempio, il punto medio del segmento FB è sicuramente l'origine "O" che è un punto della parabola.

(direttrice)

y = -p

A questo punto si fissa un punto P(x,y) e si impone che la distanza PF sia uguale alla distanza di P da r.

Quindi PF = PM;

x² + (y-p)² = y + p

y = 1/4p x²

Equazione della parabola

Lo stesso discorso vale per il caso in cui

F sta sulle ascisse ed r è parallela all'asse

delle ordinate - tenendo il punto medio in “O” -

N

O

F

x = 2y²

Avrò: nessun'altra equazione e quindi che le

parabole di vertice l'origine, fuoco (0,p),

direttrice y = -p ha equazione: y = 1/(4p) x²

Tutte le coniche che abbiamo visto, sono

descritte dall'equazione generale:

ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0 ovvero che una

relazione di 2° grado in x ed y -

l'esempio di un luogo geometrico che non è

descritto da una relazione lineare, ma

quadratica, è il luogo geometrico descritto dalla

relazione x(x² + y²) + ey² = 0

Contiene termini di terzo grado

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Questo è solo uno dei tanti problemi che si

possono fare nello studio delle curve

algebriche descritte da una relazione

F(x, y) = 0 dove F è un polinomio di

grado n nelle variabili x ed y.