Circonferenza, ellisse, parabola, iperbole

LE CONICHE

Fino ad ora abbiamo visto che tutte le rette possono essere scritte nelle forme:ex + by + c = 0È una relazione lineare in x ed y.Qui di seguito vorremo illustrare altri luoghi geometrica del piano che fanno parte dellefamiglie delle coniche con la relazione seguente: ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0Questa relazione comprende sia dei termini linearin in x ed y che dei termini quadratici.relazione quadratica in x ed y.Questi luoghi geometrici vengono denominate coniche perché possono essere int. come delle particolari intersezioni di un piano con un con.Nello spazio tridimensionale si prende una retta "a" ed una retta "n" che si intersecanonel punto V. L'angolo α < 90^°. Generima una rotazione completa di "n" attorno ad "a"ed il solido che viene generet un cono rotundo indefinito.Le curve di cui si parla possono essere viste come le intersezioni delle superfici chevengono generate, con dei piani.

LE CONICHE

Fino ad ora abbiamo visto che tutte le rette possono essere scritte nelle forme:

ax + by + c = 0

E' una relazione lineare in x ed y.Poi di seguito vedremo illustrati altri luoghi geometrici del piano che fanno parte delle famiglie delle coniche con la relazione seguente:

ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0

Questa relazione comprende sia dei termini lineari in x ed y che dei termini quadratici. (relazione quadratica in x ed y).Questi luoghi geometrici vengono denominati coniche perchè possono essere intesi come delle particolari intersezioni di un piano con un cono.

Nello spazio tridimensionale si prende un retta "a" ed una retta "n" che si intersecano nel punto V. L'angolo α < 90°.Generano una rotazione completa di "n" attorno ad "a" e otteniamo che viene generato un cono rotundo indefinito.Le curve di cui si parlerà possono essere viste come la intersezione della superficie che stiamo generato con dei piani.

- CIRCONFERENZA -

È il luogo geometrico dei punti che hannodistanza r ≥ 0 da un punto C fisso.

P(x,y)

Prendendo un generico punto P imponendo la condizioneche la distanza di P da Csia una costante "r", otteniamol’equazione della circonferenza.

È del tipo (x-x_o)² + (y-y_o)² = r² e questaè un’equazione coincidente con quella generaledelle coniche.

x² + y² - 2x_ox - 2y_oy + x_o² + y_o² - r² = 0dove: a = b = 1; c = 0; d = -2x_o; e = -2y_o;f = x_o² + y_o² - r²

- ELLISSE -

Descriveremo l'ellisse di centro l'originesemiasse maggiore "a", semiasse minore "b".

x²/_a² + y²/_b² = 1

Foci: [-C,0] e [C,0]con C = √a² - b²

Costruzione dell'ellisse. Fissati due punti del piano F ed F' (fuochi) ed un numero reale positivo 2a, si dice ellisse il luogo geometrico dei punti P(x, y) per cui è costante (ed uguale a 2a) la somma delle distanze dai fuochi.

METODO DEL GIARDINIERE: è un metodo di costruzione dell'ellisse che utilizza due fuochi, una fune, un puntone. Le fune deve essere non estensibile. Ai due fuochi si lega la corda, in modo tale che la parte libera misura più lunga della distanza fra i punti ed uguale alla semisomma dell'ellisse che si vuole ottenere. Col puntatore si tende la corda, e lo si può scorre sul terreno badando che i due lati delle corde risultino sempre tesi. Le tracce che ne derivano sono costituite dai punti la cui somma delle distanze dei due richi è costante e coincide con la parte libera della corda. Amateticamente scegliamo la situazione in cui i due fuochi sono posizionati sull'asse delle ascisse.

FF' = 2c

O (punto medio)

Un teorema di geometria euclidea, ci dice che, in un triangolo, la somma di due lati è sempre maggiore del terzo lato.

Quindi 2c = PF + PF'; 2c = FF'

2a > 2c ; a > c

Quindi la distanza "c" tra i fuochi deve essere minore della costante che si è fissato.

F(-c,0); F'(c,0); P(x,y)

√(x-c)²+y² + √(x+c)²+y² = 2a

(distanze di due punti)

⇔ √x²+c²+2cx+y² = a+c-x ;

a²-c² x² + y² = a²(a²-c²)

è una quantità positiva perché a > c, quindi posso indicarla con b².

Ed ottengo:

⇒ b²x²+a²y² = a²b²; ⇒ ^x2⁄_a² + ^y2⁄_b² = 1

EQUAZIONE CANONICA DELL'ELLISSE

Se y = 0 allora: ^x2/_a² = 1; x = ±a

Se x = 0 allora: ^y2/_b² = 1; y = ±b

AA', B, B' sono detti vertici dell'ellisse, l'origine è eletto centro l'asse che contiene i fuochi è eletto asse focale. AA' è eletto asse maggiore,

BB' è eletto asse minore. I numeri "a" e "b" sono detti semiasse dell'ellisse.

Un'altra istruzione da descrivere potrebbe essere quella di scegliere i

fuochi non più sulle ascisse, ma sulle ordinate - sull'asse y -

L'equazione che si ottiene è del tipo:

^x2/_b² + ^y2/_a² = 1

IPERBOLE

Fissati i fuochi F ed F'. Fissato 2a > 0, si dice iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante (ed = 2a) la differenza delle distante dai fuochi.

DEF PF. P, un punto c.s. PF - PF' = 2a; nel caso opposto oltre F,F' PF' - PF= 2a

Facciamo come per l'ellisse il caso in cui i fuochi siano sull'asse delle x; il punto medio è in O.

\[\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\]

Oppure scambiando in quantità elevando al quadrato, le differenze di segno scompaiono.

Risulta: \[\frac{(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-o^2)}\]

2c=FF'; 2a: differente delle minime degli di lat del triangolo: c > o quindi la quantità (c^2-a^2) è positiva e la

possiamo scrivere come c^2-c^2=b^2

Quindi ottengo:

b²x² - a²y² = a²b²

[^x2⁄_a² - ^y2⁄_b² = 1]

Equazione canonica dell'iperbole

y = 0

X = ^{± a}

L'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse è nei punti che hanno ascisse "a " e "-a" rispettivamente

x = 0

^{- y2}⁄_b² = 1

Non si ha soluzione poichè al primo membro ho una quantità negativa che viene esplicitata col -1.

Quindi l'iperbole non ha intersezione con l'asse delle ordinate.

L'origine è detto centro e l'asse che contiene i fuochi è detto asse focale o traverso.

lettera x=e //(ad y assente per A)

ASINTOTI

Le rette passanti per OH ed OK sono dette

esistono asintoti dell'iperbole. Non punti di

intersezione tra queste rette e l'iperbole.

La distanza che c'è tra un punto dell'iperbole

avente una certa ascisse e l'asintoto, è una

quantità che diminuisce man mano che

consideriamo punti sempre più lontani

dall'origine. Se è sull'asse reale positivo del

negativo. Tende essa verso lo zero con

ascisse che tende all'infinito.

Quindi: Iperbole di centro l'origine,

semiasse focale "a", semiasse non focale "b",

 ^x2/_a² - ^y2/_b² = 1

• Fuochi (-c,0) e (c,0)
• con c = √(a²+b²)

ASINTOTI:

• y = _b/^a x
• y = -_b/^a x

se a=b; ^x2-^y2=a² Iperbole equilatera

con esistenti y = _b/^ax (y - _b/^ax)

• y = -x
• y = x

Quindi gli asintoti di una

iperbole equilatere sono rette perpendicolari

fra loro.

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Confermo:

Nell'esempio N.3 abbiamo che il

dominio è ℕ\{0};

Immaggine è ℕ{660, 630, 650, 650}

PARABOLA

Fissato un punto F (fuoco) ed una retta r (direttrice), si definisce parabola il luogo geometrico dei punti che hanno eguale distanza da F e da r.

Mi soddisfa sicuramente questa relazione. Quindi consideriamo l'esempio in cui l'origine e nel punto medio di o B. N se uno elegge ess: x o y

In questo esempio il punto medio del segmento FB e sicuramente l'origine (O), che è un punto della parabola.

(direttrice)

y = -p

A questo punto si fissa un punto P(x, y) e si impone che la distanza PF sia uguale alla distanza di P da r

Quindi PF = F P';

√x² + (y - p)² =

y + p, y = 1/hp x²

y = αx²

EQUAZIONE DELLA PARABOLA

Lo stesso discorso vale per il caso in cui F sta sulle ascisse ed l'asse parallelo all'asse delle ordinate - Tenendo il punto medio in "o".

Quindi, riassumendo, esistono, che la parabola di vertice l'origine, fuoco (0, p), direttrice y = - p ha equazione:

y = ¹/_4p x²

Tutte le coniche che esistono viste, sono descritte dell'equazione generale:

ex² + ey² + cxy + dx + eyf + f = 0

ovvero che una relazione di i p quacheati c in x ed y -

L'esempio di un luogo geometrico che non è descritto ne da una relazione lineare ne quaechitca: Cissoidi, descritto dalle relazione

x³(x² + y²) - ey² = 0

Costiente tentiv in del tent probi.

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