Esercizio sulle derivate parziali 4

Continuità e differenziabilità della funzione

Data la funzione

f(x, y) =

2x²y − xy²   (x, y) ≠ (0, 0)

0   (x, y) = (0, 0)

dire se è continua in (0, 0), e dimostrare che non è ivi differenziabile.

Soluzione

0 ≤

|2x²y − xy²| / (x² + y²) = |xy||2x − y| / (x² + y²)

≤ 1/2 |2x − y| → 0

per (x, y) → (0, 0). Quindi f è continua in (0, 0).

Andiamo a calcolare le derivate parziali di f in (0, 0); si ha

∂f/∂x (0, 0) = lim_t→0 (0 − 0) / t = 0

e

∂f/∂y (0, 0) = lim_t→0 (0 − 0) / t = 0.

Se f fosse differenziabile, allora il differenziale dovrebbe essere l’applicazione nulla; ma allora dovrebbe essere

lim_|(x,y)|→0 (2x²y − xy²) / (x² + y²)^3/2 = 0.

Ovvero

lim_|(x,y)|→0 (2x²y − xy²) / (x² + y²)^3/2 = 0.

Ma lungo y = mx si ha

(2x²y − xy²) / (x² + y²)^3/2 = (2m − m²) / (1 + m²)^3/2,

per cui il limite non esiste e f non è differenziabile in (0, 0).