Isometrie nello spazio, aspetto analitico e matriciale

Capitolo 6

108

Proiezione ortogonale su un piano

Simmetria ortogonale rispetto ad un piano

112

Simmetria ortogonale rispetto ad una retta

115

Simmetria centrali

115

Rotazione attorno ad un asse fisso

115

Esercizi

8 7

1

1

108 cap. 6: Isometrie

Nello spazio. Aspetto analitico e matriciale

1 Considerazioni generali

Anche nello spazio si possono considerare delle trasformazioni generiche o delle trasformazioni che conservano le distanze gli e angoli (isometrie).

Per le isometrie, le definizioni date nel paragrafo I del capitolo 3 e le considerazioni generali svolte nel paragrafo 6 dello stesso capitolo sono valide anche nello spazio, con i dovuti adattamenti.

Data la maggiore complessità rispetto al piano, si considereranno qui in modo particolare delle situazioni semplici rispetto agli assi di riferimento od ai piani di riferimento.

2 Traslazioni nello spazio

Una traslazione di vettore u, nello spazio è una isometria dello spazio in sé che fa

I

corrispondere al punto P(x, y, z) il punto P'(x', y', z') tale che FF = u. L'ultima uguaglianza vettoriale implica che:

x' = x + u,

x' - x = u,

x' - x = l; lr':

u' =

1 0 0

1r' - r:

= l l z I

u"l,

u,

lz' - z 0 1)

3 Proiezione ortogonale di un piano su un piano

Una proiezione ortogonale su un piano π è una trasformazione (non isometrica) dello spazio in sé che associa ad un punto P dello spazio un punto P' del piano π tale che il vettore PP' è perpendicolare al piano, come risulta dalla figura a lato.

Le considerazioni (e la dimostrazione) del paragrafo 5 del capitolo 4, sono sufficienti a far scrivere le equazioni analitiche della trasformazione.

Infatti, da un punto di vista analitico, se π: ax + by + cz + d = 0 e P(x, y, z) e P'(x', y', z'), la condizione consente di scrivere:

R. Santoro

Geometria cap. 6: Isometrie nello spazio. Aspetto analitico e matriciale 109

l . t r \ - - _

+ c' qcz

aby

\b' ad

ax + by + cz )x

u t _ u ---j---:;----

-

4 ^ a

.

a - a2

+ 0' + c' + b' + c2

-aDx+\a'

t I a 1 \

ax + by + cz + c')y_bcz_bd

.,1_ ,, ---r----;)

- --

) D, o anche:

) y' =

,

a- + b' + c" a2 + b' + c2

a x + b y + c z

o t _ - -acx - -

bcy +(a2

---i------ì----- + bt)z cd

e _ -

,,

a' + b' + c' a'*b1;,

relazioni che possono riscriversi sotto forma matriciale:

' l x \

_ab

(b, _ac

+ c' -qd

lr'l )l I

| | r l - -bdllvl

| - s b _bc

' ar+c,

l y ' I = a , + b r + c r l

r,l _,d

ll, I

-or -bc

\z ) a 2 + b 2

[ ' \t )

La matrice M della trasformazione è

_ab _qc

+c,

( b,

, I

-=----l

= -ab

M q= -bc

+ c.

q' + b'*t'[' I

-qc -bc a' + b 2 )

Lo studente verifichi che la matrice M ha determinante nullo: det M: 0. La circostanza non deve meravigliare se pensa al fatto che, dato un punto p' di π, esistono infiniti punti P dello spazio che hanno come proiezione ortogonale su π lo stesso punto p'.

Dunque, se dal sistema di equazioni precedenti si volessero ricavare le coordinate x, y e z del punto P, si troverebbero infinite soluzioni (sistema indeterminato: det M: 0). Si può dire anche che la trasformazione non è invertibile e questo si traduce proprio nel fatto che la matrice M è singolare.

Nota: non è necessario imparare a memoria le formule precedenti; è importante, piuttosto, che lo studente sappia rifare, caso per caso, le considerazioni ed i calcoli che conducono alla loro dimostrazione.

Casi particolari

1. Proiezione ortogonale p'(x, y, z) rispetto al piano (O, i, j): p(x, y, 0).

2. Proiezione ortogonale p'(x, y, z) rispetto al piano (O, i, k): p(x, 0, z).

3. Proiezione ortogonale p'(x, y, z) rispetto al piano (O, j, k): p(0, y, z).

R. Santoro

Geometria

110 Cap. 6: Isometrie nello spazio. Aspetto analitico e matriciale

Esempio

Scrivere le equazioni della proiezione ortogonale rispetto al piano π: x + y + 2z: 0.

Soluzione: anche se resta valida la Nota precedente, per brevità, applicando direttamente le formule ricavate in precedenza si ha conto che, in questo caso:

a = 1, b = 1, c = 2, d = 0:

, 5 1 1

= - - x * - V - - z

x 6 6 " 3 (

lx"\ s 1 -

5

, 1 I

= à * * A Y * t , ll

o anche:

! , I u'

l= r 5 2

6 l

l " _

| , 2 2

\ z ) \ - 2

, l 1 l

= - j * * j y * r ,

4 Simmetria ortogonale rispetto ad un piano