Gli insiemi numerici N, Z, Q

Numeri Naturali

N = {0, 1, 2, 3, 4...}

Operazioni coi numeri naturaliLa somma ed il prodotto sono operazioni interne ossia, se prendiamo due numeri naturali, la loro somma ed il loro prodotto hanno come risultato, ancora un numero naturale.

Proprietà della somma e del prodotto nell'insieme dei numeri naturali

Associativa: a + (b + c) = (a + b) + ca * (b * c) = (a * b) * c

Quindi se abbiamo tre numeri naturali e vogliamo sommarli o moltiplicarli fra loro, non è importante l'ordine con cui si sommano i tre addendi o si moltiplicano i tre fattori.

Commutativa: a + b = b + aa * b = b * a

Cambiando l'ordine degli addendi o dei fattori il risultato non cambia.

Esistenza dell'elemento neutro nella somma e nel prodotto

a + 0 = a; a * 1 = a

Numeri Naturali

N = {0, 1, 2, 3, 4...}

Operazioni coi numeri naturali

La somma ed il prodotto sono operazioni interne ossia, se prendiamo due numeri naturali, la loro somma ed il loro prodotto hanno come risultato, ancora un numero naturale.

Proprietà della somma e del prodotto nell'insieme dei numeri naturali

Associativa:

a + (b + c) = (a + b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c

Quindi se abbiamo tre numeri naturali e vogliamo sommarli o moltiplicarli fra loro, non è importante l'ordine con cui si sommano i tre addendi o si moltiplicano i tre fattori.

Commutativa:

a + b = b + a

a · b = b · a

Cambiando l'ordine degli addendi o dei fattori il risultato non cambia.

Esistenza dell'elemento neutro nella somma e nel prodotto

a + 0 = a; a · 1 = a

- In N esiste un numero (lo zero) tale che a+0 = a, per ogni a ∈ N. Lo "zero" è l'elemento neutro per le somme nell'insieme N.

- In N esiste un numero (l'uno) tale che a∙1 = a, per ogni a ∈ N. L'"uno" è l'elemento neutro per il prodotto nell'insieme N.

Distributiva: a∙(b+c) = (a∙b) + (a∙c) Questa proprietà collega le operazioni di prodotto e somma.

PROBLEMA

Supponiamo di avere eseguito due numeri naturali "a" e "b": a ∈ N; b ∈ N. Domanda: essendo dati "a", esiste sempre un numero naturale "x" tale che a+x = b?

RISPOSTA: Negativa nell'insieme N. Se infatti a = 5; b = 3 a + x = b 5 + x = 3 in N non esiste alcun numero "x" sommandolo a 5 mi dà 3. Questa equazione non è risolvibile in N.

Relazione d'ordine tra due numeri naturali

Nei casi in cui la precedente equazione è risolvibile in N, possiamo introdurre questa definizione:

Se esiste un "x" naturale tale che a+x=b, allora poniamo che a