Gli insiemi numerici N, Z, Q

Numeri naturali

N = {0, 1, 2, 3, 4...}

Operazioni con i numeri naturali

Le somme e il prodotto sono operazioni interne ossia, se prendiamo due numeri naturali la loro somma e il loro prodotto hanno come risultato, ancora un numero naturale.

Proprietà della somma e del prodotto nell'insieme dei numeri naturali

Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c

Quindi se abbiamo tre numeri naturali e vogliamo sommarli o moltiplicarli fra loro, non è importante l'ordine con cui si sommano i tre addendi o si moltiplicano i tre fattori.

Commutativa: a + b = b + a

a · b = b · a

Cambiando l'ordine degli addendi o dei fattori il risultato non cambia.

Esistenza dell'elemento neutro nella somma e nel prodotto

a + 0 = a; a · 1 = a

• In N esiste un numero, lo zero, tale che a + 0 = a per ogni a in N. Lo “zero” è l'elemento neutro per la somma nell'insieme N.
• In N esiste un numero, l'uno, tale che a · 1 = a per ogni a in N. L'“uno” è l'elemento neutro per il prodotto nell'insieme N.

Distributiva: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

Queste proprietà collegano le operazioni di prodotto e somma.

Problema

Supponiamo che esistano due numeri naturali “a” e “b”: a è N; b è N.

Domanda: esiste sempre un numero naturale “x” tale che a + x = b?

Risposta: Negativo nell'insieme N.

Se, infatti, a = 5; b = 3

a + x = b

5 + x = 3

In N non esiste alcun numero che sommato a 5 mi dia 3.

Questa equazione non è risolvibile in N.

Relazione d'ordine tra due numeri naturali

Nei casi in cui la precedente equazione è risolvibile in N, possiamo introdurre queste definizioni:

• Se esiste un “x” naturale tale che a + x = b, allora possiamo dire che a <= b (relazione d'ordine).

La relazione d'ordine (a <= b) è la possibilità di distribuire i numeri naturali, mettendoli “in fila”, e poter dire quale viene prima e quale dopo.

Facciamo degli esempi:

• La relazione 3 <= 5 è vera?

Verifichiamo sostituendo i numeri alle lettere.

3 + x = 5

a + x = b     x = 2

Se esiste un x naturale tale che a + x = b allora a <= b.

In questo caso x = 2 quindi è vera la relazione 3 <= 5.

• La relazione 3 <= 3 è vera?

Verifichiamo:

3 + x = 3

a + x = b     x = 0

In questo caso x = 0 quindi la relazione 3 <= 3 è vera.

Insiemi dei multipli e dei divisori

Supponiamo n, m ∈ numeri assegnati in N.

Se esiste q ∈ N tale che n = qm si dice che n è multiplo di m oppure che m è divisore di n.

Insieme dei multipli di un numero naturale

• Assegnato m ∈ N l'insieme dei suoi multipli è costituito come segue:

Se m = 0 l'insieme dei multipli di “zero” è costituito solo dal numero “zero”.

Se m ≠ 0 allora l'insieme dei suoi multipli è: {0, m, 2m, 3m, 4m, ...}

• Assegniamo un numero “p” e vedremo in che relazione è con l'insieme dei multipli di m.

“p” può essere, a sua volta, multiplo di m ma se questo non avviene devo trovare un numero “q” tale che: qm ≤ p < (q+1)m

Esempio: p = 14

m = 3

L'insieme dei multipli di 3 {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...}

Diciamo che “q” è definito come il massimo dei multipli di “m” che è minore del numero “p” assegnato.

Proseguendo con l'esempio precedente in cui p = 14, m = 3 mi comporto così:

Trovo “q” che è il massimo dei multipli di 3, una minore di 14

{0, 3, 6, 9, 12, 15...} → quindi quoziente

q · m = 12 = 4 · 3

4 · 3 ≤ 14 < 5 · 3

q · m ≤ p < (q + 1)m

Detto questo possiamo esprimere un numero “r” tale che r = p - qm = 14 - 12 = 2

0 ≤ r < m → proprietà del resto

Da quest'ultima relazione ossia r = p - qm possiamo giungere alla relazione di “divisione euclidea” così espressa: p = qm + r ; p/m = q + r/m

Tornando all'esempio iniziale, il numero 14 lo possiamo scrivere così: 14 = (4 · 3) + 2

Un numero naturale può avere dei divisori e nell'insieme dei divisori è sempre compresa l'unità così il numero stesso.

Se l'insieme dei divisori è composto unicamente dall'unità e dal numero stesso, si parla di numeri primi.

M.C.D. dati due numeri, definisco l'insieme dei divisori di ognuno. Dall'intersezione dei due insiemi prendo il massimo numero.

24: {1, 2, 3, 4, 8, 12, 24}16: {1, 2, 4, 8, 16} → M.C.D. = 8

m.c.m. dati due numeri, definisco l'insieme dei multipli di ognuno. Dalla loro intersezione prendo il minimo numero.

4: {4, 8, 12, 16, 20, ...}3: {3, 6, 9, 12, 15, ...} → m.c.m. = 12

Due numeri si dicono primi fra loro se non hanno divisori comuni.

I numeri p e q si dicono primi fra loro se il loro M.C.D. = 1.

Insieme dei numeri interi relativi

In questo insieme di numeri le proprietà che pone a+x=b, a,b N è sempre vera - l'equazione è sempre risolvibile -

I (insieme numeri interi relativi) = {0, +1, -1, +2, -2, ...}

Proprietà della somma e del prodotto nell'insieme degli interi relativi

Associativa: a + (b+c) = (a+b)+c

a . (b . c) = (a . b) . c

Commutativa: a+b=b+a; a.b=b.a

Elemento neutro: a+0=a; a.1=a

Distributiva: a(b+c)=(a.b)+(a.c)

Opposto: per ogni a esiste b tale che a+b=0

Esempio: (-24)+b=0; b=-(-24)=+24

Detto questo si può giungere a dire che l'operazione inversa della somma è la sottrazione.

Dati a,b si dice (a-b) la somma di a più l'opposto di b.

Quindi a + x = b è sempre risolvibile in questa maniera: sommo ad entrambi i membri l'opposto di “a”:

a + (-a) + x = b + (-a), x = b - a

Si può definire la relazione d'ordine a b (b-a) N; quindi quando la differenza (b-a) è positiva (quindi appartiene all'insieme N), possiamo dire che a b e viceversa.

Poniamo ora i numeri a, b Z

Attenzione però: esiste un numero “x” Z tale che a x = b?

La risposta è negativa perché se per esempio poniamo a = +3, b = -2 si ha:

3 x = -2 (non esiste nessun x che, moltiplicato 3, mi dia -2)

In questa relazione, quello che voglio esprimere: il numero “a” lo escluderemo sempre lo zero perché se a = 0, b = 0, 0 x = 0 in questo caso x può assumere qualsiasi valore

b 0; 0 x = b 0 non è possibile

Quindi il numero “0” va escluso dalle relazioni.

Insieme dei numeri razionali

Q = { p/q : p, q in Z, q != 0 }

Esempi: 3/10, 6/20, 9/30, ecc.

Se ho due frazioni p/q ed n/5, le frazioni si dicono equivalenti se p . 5 = q . n

Le frazioni dobbiamo sempre considerarle ridotte ai minimi termini cioè se il denominatore e il numeratore devono essere numeri primi fra loro -

9/30 = 3/10;

Non si può scrivere anche così:

Q = { p/q : p, q in Z; q > 0; p, q sono numeri primi fra loro }

Questo perché se ho -5/3

-5/3 perché il denominatore sempre pos. per comodità

Operazioni algebriche

p/q + n/s = (ps + nq)/qs    regola delle somme di frazioni

p/q · n/s = pn/qs    regola del prodotto di frazioni

Proprietà della somma e del prodotto nell'insieme dei numeri razionali

Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c

Commutativa: a + b = b + a; a · b = b · a

Elemento neutro: a + 0 = a; a · 1 = a

C'è il caso in cui le potenze si usa il potere esponente 1, p¹ = p

Quindi in realtà il numero 1 elemento neutro della moltiplicazione e 1/1

Distributiva: a (b + c) = (a · b) + (a · c)

Opposto: per ogni a esiste b tale che a + b = 0

Inverso: per ogni a != 0 esiste c tale che a · c = 1

Facciamo un esempio per quanto riguarda la proprietà dell'inverso

a = p/q, a Q, a 0 quindi anche p 0

q 0

a . x = 1; x = q/p; p/q . q/p = 1

x è l'inverso di a e si indica con a^-1.

Come si ordinano i numeri razionali

p/q, n/s possiamo queste due frazioni supporle non nulle e poste positive

ps/qs, qn/qs li scriviamo con un denominatore comune

Poiché la relazione p/q <= n/s se ps <= nq

Risolviamo i seguenti problemi

E' vero che per ogni n N si ha,

n/(n+1) < (n+1)/(n+2)? Risolviamo

0 < n(n+2)/((n+1)(n+2)) < (n+1)²/((n+1)(n+2)); n²+2n < n²+1+2n.

Si ha che 0 < 1

La relazione è corretta.