Trasformazioni nel piano, aspetto analitico e matriciale

Capitolo 3

prANo

I IsoMErRrE

DEL rN (RrcurAMr)............

sÉ ...............

Jg

2 SruurrRrA oRTocoNAL8................ .............3g

3 TRAsLAzroNE................ ............41

4 RorAzroNE

ATTORNO

An O .............. ............

42

5 SIMMETRIA

CENTRALE... ...........

43

6 CONSIDERAZIONI

GENERALI

SULLE

ISoMETRIE.. ..............43

prANo...

7 OlrorrrrB DEL ............46

8 PRoTnzroNE

oRToGoNALE pnn

SU

UNA

RETTA

PASSANTE o.......... .......49

38 Cap.

3; /so

metrie piano

net Aspetto

anatitico

e matriciale

1 lsometrie

del piano in sé (Richiami)

una trasformazione

del piano

n in sé è un'applic

azione chefa

corrispondere

f

punto ad

P di un

n p,di

un altro

punto n: f:n->n

/:p+p'

punti

I U tali g

che si chiamano

/(U): puntì uniti dellatrasformazione.

Esistono diversi tipi di trasformazioni del piano in sé che hanno proprietà particolari,

come la conservazione

del rapporto tra le lungh";r;;;ifimenti corrispondenti

(similitudini)' o che mantengono

un punto fisso, o altre chJ conservano

re distanze

segmenti dei

e le misure degli angoli (isàmetrie).

In questa

r.a. ,i considereranno

alcuni solo re

tipi di trasformazioni, s=enza

4." un loro studio p*i.or*" dal punto di vista

Al conrrario

si approfondirannà

solo

gri aspetri

anaritico

e

ill1ff::geometrico.

Sia è

una

trasform

/ azionetale

che

Vpen, : p,,

Veez, :

.f(p) =

,f(e) 0,,

ii.l,ll li"Oll

ll

una ll

tale ll

trasformazione ll

si chiama

isometriudel

piano

in sé.

le simmetrie

ortogonali,

le rota_

Nel seguito' saranno

studiate, sempre

dal punto di vista analitico e matriciale, alcune

di queste

isometrie.

Negli ultimi due paragrafi si studieranno

due trasform azionidel piano in sé che non

sono delle isometrie.

2 Simmetria

oÉogonale

Una simmetria ortogonale, rispetto ad una retta

r,è un'applic azione di nin n tale che

f

VPen : p')

trasforma p'

P in P' (,f(p) punto

e il è tale che:

l. La retta

(PP')J_r

(PP')ìr:

2. {H}

3. PH:HP'

4.Per=+P':P

E facile rendersi conto gti

che unici punti uniti questa

in trasformazione punti

sono i

della retta r, che è anche una retta globalment" .rrritu ogni retta s, tale

U?):r).Inoltre

che sJr, è tale che cioè ogni retta ortogonale

"f(s):s, all'asse

della simmetria è una

retta globalmente

unita (anche

se non sono uniti i suoi singoli punti). Dunque tutte le

rette ortogonali all'asse di simmetria globalmente

sono unite.

R.SANTORO.

Geometria Cap. 3: lsometrie

nel prano.

t'

_. Aspetto anatitico e matriciate 3g

Nel piano,

munito

di una

base

ortonormata

(o,i ,j) euclideo),

@iano si considera

ra

retta

r avente

equazione

cartesiana = .

tang

-/ x per

f. o

iassa e forma un angolo

.g

con il vettore

di base

i;. Allora si ia (le condizioni

precedenti

sono

tradotte

in

condizioni

analitiche

con Ie notazioni

della

hgura sottostante):

( - l =

oPJ cr

lI.

f - ì -q

loP,r)=,9

r -\ - f , r : 2 s

+ s _ a

l t . o P J = s

= OPcosa _ct

Op,cos(2S )

{x {x,=

= OPsina

|"Y -c[

Op'sin(2,g

[-y': )

conro

che

op': op e

sviluppando

re

espressioni

trigono-

lill.'#:;::1Xff:"1',X.1ff

OPcoscr

cos2$ + Opsina =

sin2,g xcos2.9

+ysin2,g

{x'= -opsincr (l)

oPcosa sin2g

l-y'= = -ycos2.9

cos2s xsin2.g

Le telazioni (l) sono le equazioni della simmetria ortogonalee possono

essere

scritte

sotto forma matriciale : sin2$

l"'l_fcos2s Y"l (r')

-"oszs

V')- [sin29 zb)

sin2$

1rcos2S I

La matrice | è

- *

la

" *

matrice della trasformazione

^^^.,., | edil

- c os2S suo

\ s i n 2 9 )

-

determinante -

vale: _l

cos, =

2$ sin2

2$ .

Nel caso

in cui I'asse

della simmetria

non passa

per o, ma ha equazione

'x

= tans + n, le equazioni

-/ matriciali della trasformazione

sono:

')

(cos2$ sin2$ ( sin2s

fr'l Y"l ' Q)

-cos2$ (z"o.rs

\y')= [sin2,9 )-)- )

Infatti (posto m= tan$ si ha successivamente:

)

y'-y I

I -;

= (esprime

la condizione

j (PP')lr)

che

,L_"

j y'+

x'+x =

*, (esprime

la condizione

che punto

il medio

di e r)

[pp,]

l*T T

--tr'+x

=

*Y'-*y x'+my'=

x-ttqt!

J I

- =

= -*t

* mx'+2n -2,

y =

y'

+

\** y

+

\**'-r, R.SANTORO:

Geometria

40 Cap.

3: tsometrie

._ nel piano. Aspetto

anatitico

e matriciale

-x-my+m.x__my+2mn l_m2 2 m

=Q p r + i m , 2 m n

-t-m2 y - #

_-mx+y+2n-mx-m2y 2m l_m2

=T;7*-

_ 2n

-l-m' l-#

t**,

Le ultime espressioni

di x' y'

e forniscono

le equazioni

richieste

deila trasfo

Dette rmazione.

equazioni possono

trasformarsi nelra forma ri"rri.rra

rzl con qualche

trasformazione

trigonometrica. Si ha:

= c o s ' $ t a n 2 S,

c o s 2 $ - s i n 2 g 7-m2

- - - L - l + t a r i s

= - - _ =1*;

1+tanr.9

2 *

= 2 s i n $ c o s g :

s i n 2 $ =

, r t - L

l+tan,S l+m2

1

-

cos'$ 1+tan2,g l+mz

con queste

notazioni trigonometriche

le equazioni

precedenti

possono

scriversi:

-rsin2,e

*rsin2$ ,)

sin2s sin2s

,1"'l -fcos2s

{.1'=':":1n = lfl _-(

o

-ycos2$ -2ncos2s

rsin2,9 _"orzs][.r)-"1r"'ru

f/'= [y/ [sin2$ nl

o anche: -rrinzs

(cos2$ sin23 f"l

lr'l

t t - l -2ncos2-,lij

-cos2S

(sin2$

\y')

Scrivere la matrice della simmetria ortogonale rispetto alla retta

= {3x.

Y

Soluzione: L'equazione

dell'asse

della simmetria

può scriversi

anche:

= x tan60o.

!

=

Dunque 60o e lamatrice richiesta

è:

(cosr2o"

sinr2o'l

í-l +ì

z z

I t-t I

-cosl20t-i1!

\sinl20" I i

\ z 2 )

In ogni caso,

per non fare inutili sforzi di memoria, é sempre

preferi-

bile scrivere

le equazioni

della simmetria

ortogonale,

applicando,

nel

caso concreto, la definizione geometrica

di simmetria ortogonale che

si traduce

nelle due condizioni analitiche

viste sopra

nel generale.

caso

R.SANTORO:

Geometria o e matriciale 4l

3 Traslazione La composizion.e

di due simmetuie

ortugonali ad

assi paralleli dà una traslazion:eai vetàre A, if ."i

modulo è due volte la distanzl fra i due assi

,/ paralleli, Ia cui d,r17iol: p".p."Oi"o

è lare aquella

./ assi

paraileli

ed

it di;;"

1"j.9r: dipende

o.t prodotto

, "p"r","rì" delle

". due

:,1t:1]1"

simmetrie

\ c

simmerria;li,'{xix"il1î,lTrJ,fl?;îetria

./ ,/

../ ./ di

,/ asse.r

,/ mand.a

l,"in f.,. óun*",ru composizione

delle

ad

../ assi.paralleli

r p

e s p,.

manda in

**::::;e

Essendo

la composi

zionedi

due

irr_"ììJ", *,irr." ì"

ji{:::n"

i:ffJ'11".j':;:,i:::;:i::í

;t::;:;:;ttorenuilosidice,.",'j;il'ff

una traslazione

di vettore

D è un'appl

icazione

di nin n tale

f che

vpen p

in trasforma

P' (cioé,f(p)

: p') p;Jilf.

e il punto "f,"

lf'=6 . (1)

Nel piano euclideo

avente

riferimento ortonormat (o,í

o (1)

,i),ra diventa:

- ' = u' x +

- ur

ò F - o F fi 3 - { x' =

{',' (2)

,

l!-!=u' U'=!+u'

(r,\

d o v e p ' ( x ' , y , ) .

e

| . , ' l = n . p ( x , y )

\uz

)

Le equazioni

della traslazione

(2) possono

scriversi

sotto forma matriciale:

(u,\

l"'l f"l l_ (u.

1 0 x

X,

<+

(.-u'J=ly)*lr,) +l

0 1

)- \uz

o anche: ?: