Trasformazioni nel piano, aspetto analitico e matriciale

Capitolo 3

Piano

Le isometrie del piano (richiami)............

Sé ...............

Jg

2 Struttura ortogonale................ .............3g

3 Traslazione................ ............41

4 Rotazione

Attorno

An O .............. ............

42

5 Simmetria

Centrale... ...........

43

6 Considerazioni

Generali

sulle

Isometrie.. ..............43

Piano...

7 Olomorfie del ............46

8 Protezione

Ortogonale per

Su

Una

Retta

Passante o.......... .......49

38 Cap.

3; /so

metrie piano

nel aspetto

analitico

e matriciale

1 Isometrie del piano in sé (richiami)

Una trasformazione

del piano

π in sé è un'applicazione che fa

corrispondere

f

punto ad

P di un

π p, di

un altro

punto π: f:π->π

f:p+p'

punti

I U tali g

che si chiamano

f(U): punti uniti della trasformazione.

Esistono diversi tipi di trasformazioni del piano in sé che hanno proprietà particolari,

come la conservazione

del rapporto tra le lungh";r;;;ifimenti corrispondenti

(similitudini)' o che mantengono

un punto fisso, o altre chJ conservano

re distanze

segmenti dei

e le misure degli angoli (isometrie).

In questa

r.a. ,i considereranno

alcuni solo re

tipi di trasformazioni, s=enza

4." un loro studio p*i.or*" dal punto di vista

Al contrario

si approfondirannà

solo

gri aspetri

analitico

e

ill1ff::geometrico.

Sia è

una

trasform

/ azionetale

che

Vpen, : p,,

Veez, :

.f(p) =

,f(e) 0,,

ii.l,ll li"Oll

ll

una ll

tale ll

trasformazione ll

si chiama

isometria del piano

in sé.

Le simmetrie

ortogonali,

le rota_

Nel seguito' saranno

studiate, sempre

dal punto di vista analitico e matriciale, alcune

di queste

isometrie.

Negli ultimi due paragrafi si studieranno

due trasform azionidel piano in sé che non

sono delle isometrie.

2 Simmetria ortogonale

Una simmetria ortogonale, rispetto ad una retta

r, è un'applicazione di π in π tale che

f

VPen : p')

trasforma p'

P in P' (,f(p) punto

e il è tale che:

• La retta (PP')J_r
• (PP')ìr:
• {H}
• PH:HP'
• Per=+P':P

È facile rendersi conto gti

che unici punti uniti questa

in trasformazione punti

sono i

della retta r, che è anche una retta globalment" .rrritu ogni retta s, tale

U?):r).Inoltre

che sJr, è tale che cioè ogni retta ortogonale

"f(s):s, all'asse

della simmetria è una

retta globalmente

unita (anche

se non sono uniti i suoi singoli punti). Dunque tutte le

rette ortogonali all'asse di simmetria globalmente

sono unite.

R. Santoro

Geometria Cap. 3: Isometrie

nel piano.

t'

_. Aspetto analitico e matriciale 3g

Nel piano,

munito

di una

base

ortonormata

(o, i, j) euclideo),

piano si considera

la

retta

r avente

equazione

cartesiana = .

tang

-/ x per

f. o

passa e forma un angolo

.g

con il vettore

di base

i;. Allora si ha (le condizioni

precedenti

sono

tradotte

in

condizioni

analitiche

con le notazioni

della

figura sottostante):

( - l =

oPJ cr

lI.

f - ì -q

loP,r)=,9

r -\ - f , r : 2 s

+ s _ a

l t . o P J = s

= OPcosa _ct

Op,cos(2S )

{x {x,=

= OPsina

|"Y -c[

Op'sin(2,g

[-y': )

conro

che

op': op e

sviluppando

le

espressioni

trigono-

lill.'#:;::1Xff:"1',X.1ff

OPcoscr

cos2$ + Opsina =

sin2,g xcos2.9

+ysin2,g

{x'= -opsincr (1)

oPcosa sin2g

l-y'= = -ycos2.9

cos2s xsin2.g

Le relazioni (1) sono le equazioni della simmetria ortogonale e possono

essere

scritte

sotto forma matriciale: sin2$

l"'l_fcos2s Y"l (r')

-"oszs

V')- [sin29 zb)

sin2$

1rcos2S I

La matrice | è

- *

la

" *

matrice della trasformazione

^^^.,., | edil

- c os2S suo

\ s i n 2 9 )

-

determinante -

vale: _l

cos, =

2$ sin2

2$ .

Nel caso

in cui l'asse

della simmetria

non passa

per o, ma ha equazione

'x

= tans + n, le equazioni

-/ matriciali della trasformazione

sono:

')

(cos2$ sin2$ ( sin2s

fr'l Y"l ' Q)

-cos2$ (z"o.rs

\y')= [sin2,9 )-)- )

Infatti (posto m= tan$ si ha successivamente:

)

y'-y I

I -;

= (esprime

la condizione

j (PP')lr)

che

,L_"

j y'+

x'+x =

*, (esprime

la condizione

che punto

il medio

di e r)

[pp,]

l*T T

--tr'+x

=

*Y'-*y x'+my'=

x-ttqt!

J I

- =

= -*t

* mx'+2n -2,

y =

y'

+

\** y

+

\**'-r, R. Santoro:

Geometria

40 Cap.

3: Isometrie

._ nel piano. Aspetto

analitico

e matriciale

-x-my+m.x__my+2mn l_m2 2 m

=Q p r + i m , 2 m n

-t-m2 y - #

_-mx+y+2n-mx-m2y 2m l_m2

=T;7*-

_ 2n

-l-m' l-#

t**,

Le ultime espressioni

di x' y'

e forniscono

le equazioni

richieste

della trasfo

Dette rmazione.

equazioni possono

trasformarsi nella forma ri"rri.rra

rzl con qualche

trasformazione

trigonometrica. Si ha:

= c o s ' $ t a n 2 S,

c o s 2 $ - s i n 2 g 7-m2

- - - L - l + t a r i s

= - - _ =1*;

1+tanr.9

2 *

= 2 s i n $ c o s g :

s i n 2 $ =

, r t - L

l+tan,S l+m2

1

-

cos'$ 1+tan2,g l+mz

con queste

notazioni trigonometriche

le equazioni

precedenti

possono

scriversi:

-rsin2,e

*rsin2$ ,)

sin2s sin2s

,1"'l -fcos2s

{.1'=':":1n = lfl _-(

o

-ycos2$ -2ncos2s

rsin2,9 _"orzs][.r)-"1r"'ru

f/'= [y/ [sin2$ nl

o anche: -rrinzs

(cos2$ sin23 f"l

lr'l

t t - l -2ncos2-,lij

-cos2S

(sin2$

\y')

Esempio

Scrivere la matrice della simmetria ortogonale rispetto alla retta

= {3x.

Y

Soluzione: L'equazione

dell'asse

della simmetria

può scriversi

anche:

= x tan60o.

!

=

Dunque 60o e la matrice richiesta

è:

(cosr2o"

sinr2o'l

í-l +ì

z z

I t-t I

-cosl20t-i1!

\sinl20" I i

\ z 2 )

In ogni caso,

per non fare inutili sforzi di memoria, è sempre

preferi-

bile scrivere

le equazioni

della simmetria

ortogonale,

applicando,

nel

caso concreto, la definizione geometrica

di simmetria ortogonale che

si traduce

nelle due condizioni analitiche

viste sopra

nel generale.

caso

R. Santoro

Geometria o e matriciale 4l

3 Traslazione

La composizion.e

di due simmetuie

ortugonali ad

assi paralleli dà una traslazion:eai vetàre A, if ."i

modulo è due volte la distanzl fra i due assi

,/ paralleli, Ia cui d,r17iol: p".p."Oi"o

è lare aquella

./ assi

paraileli

ed

it di;;"

1"j.9r: dipende

o.t prodotto

, "p"r","rì" delle

". due

:,1t:1]1"

simmetrie

\ c

simmerria;li,'{xix"il1î,lTrJ,fl?;îetria

./ ,/

../ ./ di

,/ asse.r

,/ mand.a

l,"in f.,. óun*",ru composizione

delle

ad

../ assi.paralleli

r p

e s p,.

manda in

**::::;e

Essendo

la composizione

di due

irr_"ììJ", *,irr." ì"

ji{:::n"

i:ffJ'11".j':;:,i:::;:i::í

;t::;:;:;ttorenuilosidice,.",'j;il'ff

una traslazione

di vettore

D è un'applicazione

di π in π tale

f che

vpen p

in trasforma

P' (cioé,f(p)

: p') p;Jilf.

e il punto "f,"

lf'=6 . (1)

Nel piano euclideo

avente

riferimento ortonormat (o,í

o (1)

,i), la diventa:

- ' = u' x +

- ur

ò F - o F fi 3 - { x' =

{',' (2)

,

l!-!=u' U'=!+u'

(r,\

d o v e p ' ( x ' , y , ) .

e

| . , ' l = n . p ( x , y )

\uz

)

Le equazioni

della traslazione (2) possono

scriversi

sotto forma matriciale:

(u,\

l"'l f"l l_ (u.

1 0 x

X

<+

(.-u'J=ly)*lr,) +l

0 1

)- \uz