Le progressioni geometriche

Progressioni geometriche

Cominciamo con due esempi:

Consideriamo la successione di numeri:

Esempio 1

3, 6, 12, 24, 48, 96

× 2

× 2 × 2

× 2²

2

2

La successione è tale che si passa da un termine al successivo moltiplicando il precedente per 2. Si dice anche che la successione precedente è una progressione geometrica.

«3» è il primo termine della progressione, «96» è l’ultimo termine e «2» (il numero che moltiplica un termine per avere il successivo) si chiama ragione della progressione. Inoltre, visto che i termini aumentano sempre, la progressione considerata è crescente.

Consideriamo la successione di numeri:

Esempio 2

36, 24, 12, 6

× ½

× ½ × ½

½

½

La successione è tale che si passa da un termine al successivo moltiplicando il precedente per ½. La successione precedente è una progressione geometrica di ragione ½. I termini della successione diminuiscono sempre e la progressione considerata è decrescente.

Possiamo generalizzare quanto visto negli esempi con la seguente definizione:

Una progressione geometrica è una successione di numeri reali tali che il rapporto tra due termini consecutivi della successione è costante.

Questa costante si chiama ragione della progressione stessa: se la ragione è positiva e maggiore di 1, la successione è crescente; se la ragione è compresa tra zero e 1 (1 escluso), la successione è decrescente; se la ragione è uguale a 1 la successione è costante (tutti i suoi termini sono uguali); se la ragione è negativa la successione è oscillante (i suoi termini sono alternativamente positivi e negativi).

Simbolicamente, indicando con a_n il termine n-simo della successione e con q la sua ragione, possiamo scrivere:

a₂ = a₁q

a₃ = a₂q = a₁q · q = a₁q²

a₄ = a₃q = a₁q · q · q = a₁q³

...

a_n = a_n-1q = a₁q · q^n-2 · q = a₁q^n-1

dove l’ultima espressione:

R. SANTORO: Progressioni geometriche 2

a_n = a₁q^{n − 1} (1)

fornisce una relazione generale per calcolare il termine di posto n (a_n) di una progressione geometrica di cui si conosce il primo termine (a₁) e la ragione (q).

Esempio 3

Calcolare il quinto termine di una progressione geometrica per cui il primo termine vale 2 e la ragione vale ¾.

Applicando la formula precedente, abbiamo subito:

a₅ = a₁q⁴ = 2 × (¾)⁴ = 2 × 81/256 = 81/128.

Esempio 4

Calcoliamo l’interesse composto di un capitale C₀ depositato in banca per n anni con un interesse percentuale annuo uguale a i.

Alla fine di ogni anno abbiamo la seguente situazione:

Possiamo allora notare che

• La successione:

C₀, C₁, C₂, C₃, ..., C_n

è una progressione geometrica il cui primo termine è C₀ e la cui ragione è 1 + i;

• Alla fine dell’n-simo anno di deposito il capitale C_n è dato da

C_n = C₀(1+i)ⁿ

Allora se C₀ = 1 ML (un milione di lire) e i = 7%, dopo 10 anni il capitale sarà uguale a:

C₁₀ = 1 ML × (1 + 7/100)¹⁰ = 1 ML × (107/100)¹⁰ ≈ 1967 ML.