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Calcolo del massimo relativo

Sia f(x, y) = x4 - y2 + 6 - 2x2 + 4y; sia (x0, y0) l'unico punto di massimo relativo di f. Calcolare f(x0, y0).

Soluzione

f = 0 porta al sistema

4x3 - 4x = 0

-2y + 4 = 0

che ha come soluzioni P1 = (0, 2), P2 = (1, 2) e P3 = (-1, 2). L'Hessiano di f è dato da

H = (12x2 - 4  0; 0  -2).

Ne segue che

H(P1) = (-4  0; 0  -2)

che ha determinante positivo; essendo -2 < 0, si ha che P1 è punto di massimo. Si ha poi

H(P2) = H(P3) = (8  0; 0  -2)

la quale ha determinante negativo. Quindi P2 e P3 sono punti di sella. Allora si ha f(0, 2) = 10.

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