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Esercizio svolto sui massimi e minimi di una funzione razionale: si individuano i punti critici, si studia il segno della derivata e si determina l’unico massimo locale, calcolando poi il valore richiesto.

Analisi della derivabilità di f(x)=x sin(1/x) in x=0: si verifica che la funzione è continua nell’origine, ma non derivabile. Il risultato deriva dallo studio del rapporto incrementale e dal confronto dei limiti.

Approfondisci un problema di Cauchy sulle equazioni differenziali ordinarie: determina la soluzione di x u'(x) + 2u(x) = 0 con u(1)=3, poi calcola u''(1) e 8u'(2) con un metodo rapido, rigoroso e immediato.

Esercizio sulle equazioni differenziali ordinarie: soluzione del problema di Cauchy per un’ODE lineare del secondo ordine, calcolo di u''(0) e u(1), determinazione dell’equazione caratteristica e della soluzione particolare.

Analisi del carattere della serie sommatoria di (n^2+2)/2^n: spiega come applicare il criterio della radice per stabilire la convergenza, con passaggi ordinati, motivazione rigorosa e conclusione chiara.

Guida alla soluzione di un problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine: equazione caratteristica, soluzione omogenea, particolare e condizioni iniziali, fino al calcolo finale del valore richiesto.

Esempio guidato di equazione differenziale ordinaria con problema di Cauchy: si trova la soluzione particolare con fattore integrante, si applica la condizione iniziale e si calcola il valore richiesto a partire da u(1).

Analisi del problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie a variabili separabili: si ricava la soluzione generale e la soluzione particolare con dato iniziale, verificandone dominio, unicità e continuità in tutto l'intervallo positivo.

Analisi del dominio di una funzione in due variabili con logaritmo e arcsin: si determinano le condizioni di esistenza, il significato geometrico dell’insieme E e si valuta se il dominio è aperto, chiuso o né aperto né chiuso.

Analisi del dominio di una funzione in due variabili con radice e logaritmo: si ricavano le condizioni di esistenza, si studia l’insieme ottenuto e si verifica se è aperto, chiuso o né aperto né chiuso.

Analisi del limite di una funzione in due variabili: verifica la continuità nel punto critico, confronta i comportamenti lungo diversi percorsi e mostra perché, in questo caso, il limite non esiste e la funzione non può essere resa continua in (0,0).

Spiegazione del piano tangente a una superficie in un punto dato: come si calcolano le derivate parziali, si costruisce l’equazione lineare di approssimazione e si ricava il valore richiesto di g in un punto diverso.

Guida alla formula di Taylor del secondo ordine per funzioni di due variabili: derivate parziali, derivate successive e sviluppo locale di f(x,y)=x²−cos(x−y) attorno a (0,0), con calcolo completo del resto.

Guida al calcolo di massimi e minimi di una funzione di due variabili con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Esempio svolto con vincolo, punti critici, verifica di estremo assoluto e confronto dei valori della funzione.

Scopri come Eulero, partendo dai ponti di Königsberg, formulò nel 1736 il criterio sui cammini semplici che avviò la teoria dei grafi. Un problema storico che unisce matematica, topologia e ragionamento logico.

Panoramica storica sulla geometria, dalle civiltà egizia e babilonese a Talete, Pitagora, Platone, Euclide e Archimede. Il testo mostra come la disciplina sia passata da usi pratici a un impianto logico-deduttivo.

Appunti di Analisi II sulle superfici in R^3: definizioni, equazioni parametriche e implicite, esempio della sfera e studio di curve regolari, paralleli e meridiani. Un supporto chiaro per comprendere la geometria differenziale di base.

Panoramica sulle equazioni differenziali ordinarie: definizioni, ordine e forma normale, soluzioni e condizioni iniziali, problemi di Cauchy ed esempi applicativi da fisica, circuiti e datazione al C14.

Scopri le successioni in R^n in Analisi II: definizione di convergenza, criterio per componenti, esempi svolti e punti di accumulazione di un insieme. Una guida chiara per capire successioni vettoriali e limiti in più dimensioni.

Approfondisci sottosuccessioni e teorema di Bolzano-Weierstrass, con definizioni essenziali, proprietà di convergenza e prova dell’esistenza di una sottosuccessione convergente per ogni successione limitata.