Su alcune note di storia della geometria

Su alcune note di storia della geometria

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Guido Carolla

È quasi impossibile trattare la storia della geometria senza cadere, data la sua vastità, nelle inevitabili imprecisioni ed omissioni. Noi qui, col proposito un po’ ambizioso di essere letti anche da studenti, ci siamo sforzati di riportare alcuni argomenti in modo didatticamente semplice, forse con soverchia pretesa di accessibilità anche per chi ha poca dimestichezza con la matematica.

Un po’ di storia

La parola geometria proviene dal greco e significa “misura della terra”. Ed Erodoto, il padre della storia, ritiene che la geometria sia nata presso gli antichi Egiziani, vari millenni a. C., per la necessità che questi avevano di ripristinare confini di proprietà, che ogni anno venivano cancellati dalle inondazioni del Nilo. D’altro canto è assodato che ancor prima altri popoli, come per es. gli Assiro-Babilonesi, ebbero spiccate cognizioni di geometria, oltre che di aritmetica.

Gli Assiro-Babilonesi abitavano in Mesopotamia, la vasta pianura che ha per confini naturali i due fiumi Tigri ed Eufrate, che attualmente si può identificare con l’Iraq. Centro della loro vita politica e culturale era l’antichissima Babilonia. Essi, profondi cultori di Astronomia, erano abbastanza progrediti nelle cognizioni geometriche. Infatti, parallele, quadrati, triangoli, angoli retti s’incontrano fra le materie della civiltà babilonese; inoltre è certo che quei popoli della Mesopotamia erano in grado di calcolare con precisione aree di quadrati, di rettangoli, di triangoli rettangoli e persino di trapezi, mentre per determinare l’area del cerchio si servivano del valore π = 3.

1 Docente di matematica e preside a r. Lecce; e-mail guidocarolla@libero.it

Presso gli Egiziani però si riscontravano più vaste e più profonde cognizioni matematiche, in gran parte raccolte nel famoso Papiro Rhind (2000 a. C. circa) – di contenuto aritmetico-geometrico – e nel Papiro di Mosca, interpretato dallo Struve. Ma, tanto presso gli Assiro-Babilonesi, quanto presso gli Egiziani le conoscenze matematiche servivano a scopi principalmente pratici.

Spetta ai Greci, a partire da Talete di Mileto – uno dei sette savi dell’antica Grecia, (600 a. C. circa) – e Pitagora di Samo, fondatore della famosa scuola pitagorica a Crotone (540 a. C. circa), che forse fu allievo di Talete, il merito di aver elevato la matematica a dignità di scienza.

La geometria a fondamento degli studi filosofici

Sembra che presso i pitagorici la geometria sia stata posta per la prima volta sotto forma deduttiva.

Va pure ricordato il grande filosofo Platone di Atene (420-348 a. C.) a cui si debbono notevoli contributi circa la risoluzione di problemi geometrici e soprattutto nei riguardi dell’uso della logica nello studio della geometria, che egli metteva a fondamento degli studi filosofici.

Si narra che egli raccomandava così caldamente lo studio della geometria da scrivere sulla porta della sua scuola: “Nessuno ignaro della geometria entri sotto il mio tetto”. Soleva anche dire: “Dio geometrizza sempre”. Ulteriori progressi la geometria compie, dal punto di vista razionale, dopo che Aristotele, il grande discepolo di Platone, dà alla logica una importantissima sistemazione.

Euclide e gli studi euclidei

In seguito il pensiero greco trova la sua meravigliosa sintesi in Euclide vissuto in Alessandria verso il 300 a. C. Egli nei suoi Elementi, di contenuto aritmetico-geometrico, raccoglie e sistema tutto il complesso delle conoscenze matematiche del tempo secondo un mirabile schema logico-deduttivo. Gli Elementi hanno avuto una diffusione seconda solo alla Bibbia, e costituisce il più grande monumento che l’uomo abbia saputo elevare alla matematica.

Le matematiche elementari, così come vengono insegnate, non differiscono nei fondamenti dalla impostazione di Euclide, che scrisse gli Elementi in Alessandria, subito dopo la fondazione della città, nell’epoca in cui il genio militare di Alessandro Magno unificava in un solo impero il mondo greco e quello orientale fino alle Indie, mentre Roma compiva la grande opera di unificazione della penisola italica, primo passo verso l’unificazione di tutto il mondo mediterraneo.

Archimede: il grande matematico, primo ingegnere dell’umanità

Nella storia della matematica un posto a parte spetta ad Archimede di Siracusa, vissuto verso il 287 a. C. Il grande scienziato – ucciso, come è noto, da un soldato romano durante il saccheggio di Siracusa nel corso della seconda guerra punica – è senza dubbio uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Egli per primo, affrontando i più ardui problemi rimasti fino a quel tempo insoluti, come per esempio quello del calcolo delle aree e dei volumi, gettò le basi del calcolo infinitesimale.

Archimede affrontò, tra l’altro, il problema della rettificazione della circonferenza, che – com’è noto – consiste nel trovare un segmento lungo quanto una circonferenza data. Presso gli Assiro-Babilonesi, come già detto, si riscontra la regola che per rettificare la circonferenza basta triplicare il diametro: perciò si usa per il valore π = 3, valore che si incontra successivamente nella Bibbia. Gli Egiziani assegnavano a π il valore 3,1604, che è più preciso di 3. Nella pratica noi adoperiamo il valore 3,14; che fu anche usato da Archimede, a cui va il grandissimo merito di aver fatto conoscere pienamente il numero π.

Egli dimostrò che π è un numero decimale con infinite cifre e assegnò la legge per ottenerle.

Da Archimede a Gauss e Lindemann

Le grandi e geniali idee di Archimede non furono comprese pienamente dai suoi contemporanei. L’umanità poté recepirle nel loro giusto valore circa ventuno secoli dopo; quando – per opera di Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647), Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Wilhelm von Leibniz (1746-1716) e altri – furono definitivamente sistemati i concetti che governano l’infinitesimo. E la figura di Archimede giganteggia sempre più col progredire della Scienza.

Gli antichi tentarono di rettificare la circonferenza adoperando la riga e il compasso, come si fa per altre costruzioni della geometria elementare. Essi però non poterono realizzare ciò, in quanto il problema non è risolubile con riga e compasso (partendo dal raggio).

L’impossibilità di rettificare la circonferenza con riga e compasso è stata provata nel 1882 e discende da un famoso teorema di Ferdinand Lindemann (1852-1939), che enuncia la trascendenza di π (cioè, non è soluzione di equazioni a coefficienti razionali). Se con riga e compasso sappiamo dividere un arco per metà, possiamo anche inscrivere in una circonferenza i poligoni regolari che hanno 3, 6, 12, 24 lati, e via raddoppiando; 4, 8, 16, 32, ... lati; 5, 10, 20, 40, … lati.

Gli antichi tentarono di risolvere il problema della divisione della circonferenza in parti uguali adoperando la riga e il compasso anche in tutti gli altri casi, ma non vi riuscirono.

Il loro insuccesso si deve al fatto che il suddetto problema non è in generale risolubile con l’uso di tali strumenti. Ciò è stato dimostrato da Carl Friedrich Gauss (1777-1855) nel teorema che dice: una circonferenza si può dividere in un numero n di parti uguali, mediante riga e compasso, soltanto quando n scomposto in fattori primi abbia i fattori diversi da 2 tutti alla prima potenza e tali che diminuiti di 1 diano luogo ad una potenza di 2.

In base a questo teorema non è possibile con riga e compasso dividere una circonferenza in 7, 11, 13 parti uguali, perché tali numeri primi diminuiti di 1 non danno una potenza di 2. Analogamente non è possibile dividere la circonferenza in 9 parti uguali, perché 9 = 3² e il fattore 3 non si presenta alla prima potenza.