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Svolgimento: Una soluzione sarebbe modificare il coefficiente della variabile y^2 così da ottenereun quadrato di un polinomio ed un monomio in variabile y^2 . A questo punto ci troveremo davanti ad una differenza tra due quadrati e possiamo scom...

Svolgimento: Innanzitutto studiamo la condizione di esistenza: |x|>0=>x diverso da 0 Se poniamo log_2(|x|)=y , ottieniamo l'equazione di secondo grado: y^2+2y-3<0 la cui soluzione è -3<y<1 e quindi -3<log_2(|x|)<1 il ch

Svolgimento: Chiamiamo barAB il lato di lunghezza a e CH l'altezza relativa a questo lato. Si ha : barCH=2*A/a=sqrt(3)a/4 . Indichiamo con x l'angolo BhatAC e con 2x l'anglolo AhatBC . Dal triangolo rettangolo hat{ACH} si ha: barAH=sqr...

Svolgimento: Per risolvere questo teorema è molto comodo utilizzare le formule di prostaferesi. In questo caso, si ha: sinx-sina=2cos((x+a)/2)sin(x-a)/2) cosx-cosa=-2sin((x+a)/2)sin((x-a)/2) Sostituendo otteniamo lim_{xto a}(sinx-sina)/(co...

Svolgimento: Proviamo a sostituire y=sqrt((2-x)/x) , da cui x=2/(1+y^2) e dx=((-4y)/(1+y^2)^2)dy . Sostituendo ora questi dati nell'integrale originale otteniamo: int((-4*y^2)/(1+y^2)^2)dy=2y/(1+y^2)-2atan(y)+C .

Calcola l'area e il perimetro di un triangolo rettangolo hat{ABC} , sapendo che la mediana AM relativa all'ipotenusa è 5/6 del cateto AB e che la somma di questo e dell'ipotenusa è 64 cm . Svolgimento: Il triangolo, essendo rett

Dimostrare che un triangolo avente un lato coincidente con la base BC di un triangolo isoscele ABC e il vertice opposto D in un punto della bisettrice dell'angolo al vertice di ABC , è isoscele. Svolgimento: Consideiamo un triangolo is

Svolgimento: Quando x tende a 3pi da destra tg(x/2)=-infty , quindi e^(tg(x/2))=0 , e il lim_{xto (3pi)^+}(arccos(-1))=pi

Svolgimento: Eliminando i denominatori, moltiplicando ambo imembri per il m.c.m(3;2)=6 , si ha 4(1-x)+3 4-4x+3

Svolgimento: Dobbiamo fare in modo che risulti 1-2x(x-4)+2(x-1)^2>=0 cioè 1-2x^2+8x+2x^2+2-4x>=0 => 4x>=-3 => x>=-3/4 La funzione esiste, quindi, nell'intervallo [-3/4;+infty)

Svolgimento: Innanzitutto osserviamo che la frazione non potrà  mai essere negativa; ora vediamo che il numeratore è uguale a zero per x=2/3 , mentre il denominatore per nessun valore di x . Quindi (|2x-3|)/(2+|3x|)>0 è verificata AAx!=2/3

Svolgimento: Per la definizione di logaritmo deve risultare x>-2 Pertanto 2x+4=3^2 ; 2x=9-4 ; x=5/2 La soluzione trovata è accettabile, perchè >-2 .

Svolgimento: facendo un cambio di base,ottieniamo lnx=(lnx)/(ln(10)) da cui, portando tutto a primo termine e facendo il denominatore comune [(ln(10)*lnx)-lnx]/ln(10)=0 il denominatore si può eliminare (in quanto è diverso da 0), e rimane

Svolgimento: Basta scomporre il numeratore (x^2+3x-4)=(x-1)(x+4) ora,semplifichiamo ed otteniamo lim_{xto 1}(x+4) Pertanto lim_{xto 1}(x^2+3x-4)/(x-1)=5

Svolgimento: f(x)=(x-1)/(x^3+x)=(x-1)/(x(x^2+1)) La funzione può essere decomposta nella somma: A/x+(Bx+C)/(x^2+1) con A,B,C costanti da determinare. Eseguendo la somma si ha: (A(x^2+1)+x(Bx+C))/(x(x^2+1)) cioè: (x^2(A+B)+Cx+A)/(x(x...

Svolgimento: L'argomento del logaritmo, in questo caso, è sempre positivo (quadrato a cui è addizionato un reale positivo) perciò non dobbiamo porre condizioni di esistenza per le soluzioni. Supponiamo che la base del logaritmo sia 10 o e . Si...

Svolgimento: Per risolvere questa disuguaglianza usiamo un pò di inventiva Consideriamo un triangolo rettangolo con i cateti lunghi rispettivamente 5cm ,12cm ; allora l'ipotenusa misura sqrt(5^2+12^2)=13 , quindi la soluzione è x=2

Svolgimento: lim_{xto 0}(x/(1-(e^2x)))=lim_{xto 0}(1/(1-(e^2x))/x)=lim_{xto 0}(1/(-(-1+(e^2x)))/x) 2x=y => x=y/2 ed inoltre lim_{xto 0}y=0 quindi sostituiamo: lim_{yto 0}(1/(-(-1+(e^y)))/(y/2))=lim_{yto 0}(1/-2(-1+(e^y))/y)=-1/2 (Poichè

La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica ? S_n=n(n+3) . Trovare il quinto termine. Svolgimento: Si ha S_1=a_1=4 S_2=a_1+a_2=10 => a_2=6 d=a_2-a_1=2 a_5=a_1+4d=4+8=12 .

La Bella Addormentata si sottopone a un esperimento nel quale viene addormenta ipnoticamente. I ricercatori lanciano una moneta: se il risultato del lancio della moneta è testa la Bella Addormentata viene svegliata e poi interrogata; se il risultato...