Sottosuccessioni e teorema di Bolzano - Weierstrass

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Sottosuccessioni; Teorema di

Bolzano-Weierstrass

Sottosuccessioni → →

Sia data una successione reale x : e sia data una successione n : strettamente

N R N N

crescente. Allora è possibile considerare la successione che ha come termine generale x . Più

n(h)

◦

precisamente si tratta della successione ottenuta come x n. Il termine generale della successione

◦

x n si indica con x , e la successione x viene detta sottosuccessione della successione x .

n n n

h h

Il motivo di questo nome sta proprio nel fatto che la successione x viene ottenuta scegliendo

n h

alcuni tra i valori della successione x , ma sempre infiniti e corrispondenti a numeri naturali

n

distinti. n

Sia data la successione x = (−1) ; allora considerata la successione n = 2h si ha che

Esempio: n h

la sottosuccessione x vale costantemente 1; mentre se si considera la successione n = 2h + 1,

n h

h −1.

la sottosuccessione x vale costantemente

n h

Un primo importante risulato che lega le successioni alle sottosuccessioni è il seguente.

Sia x una successione; allora x ammette limite ` (finito o non finito) se e solo

Teorema: n n

se ogni sottosuccessione di x ammette il limite ` (finito o infinito).

n n

La successione x = (−1) non ammette limite, ovvero è indeterminata. Infatti

Esempio: n −1;

esistono due sottosuccessioni di x che ammettono due limiti distinti, che sono 1 e ne segue,

n

per il Teorema precedente, che la successione x non può ammettere limite, finito o infinito.

n

Il seguente teorema, di Bolzano-Weierstrass, rappresenta il teorema più importante dell’intera

teoria delle successioni reali: Sia data una successione x limitata, ovvero tale per

Teorema (Bolzano-Weierstrass): n

|x | ≤ ∈

cui esiste c > 0 con c per ogni n allora esiste una sottosuccessione x convergente.

N;

n n h

Dimostrazione. Sia x la successione di termine generale x , e sia I =Im(x); se ` finito, allora

n

∈

si conclude facilmente poichè almeno un elemento ` I deve corrispondere ad infiniti indici n ,

h

per definizione di sottosuccessione. Ne segue che la sottosuccessione x converge ad `, essendo

n h

costante. Possiamo quindi supporre che I sia un insieme infinito; dal momento che x limitata,

n

≤ ≤ ∈

esistono a < b numeri reali tali che a x b per ogni n Sia α il valore medio tra a e b,

N.

n {y ∈ ≤ ≤ {y ∈ ≤ ≤

ovvero α = (a+b)/2; si considerino dunque I = : a y α} e I = : α y b}.

R R

1 2

Allora I ha infiniti elementi in I oppure in I , poichè se avesse un numero finito di elementi sia