Sottosuccessioni e teorema di Bolzano - Weierstrass

Luca Lussardi: appunti di Analisi I

Sottosuccessioni; teorema di Bolzano-Weierstrass

Sottosuccessioni

Sottosuccessioni → →

Sia data una successione reale x_n e sia data una successione n_h strettamente crescente. Allora è possibile considerare la successione che ha come termine generale x_nh. Più precisamente si tratta della successione ottenuta come x_nh.

Il termine generale della successione x_nh si indica con x_nh, e la successione x_nh viene detta sottosuccessione della successione x_n.

Il motivo di questo nome sta proprio nel fatto che la successione x_nh viene ottenuta scegliendo alcuni tra i valori della successione x_n, ma sempre infiniti e corrispondenti a numeri naturali distinti n_h.

Esempio: Sia data la successione x_n = (−1)ⁿ; allora, considerata la successione n_h = 2h, si ha che la sottosuccessione x_nh vale costantemente 1; mentre, se si considera la successione n_h = 2h + 1, la sottosuccessione x_nh vale costantemente −1.

Un primo importante risultato che lega le successioni alle sottosuccessioni è il seguente.

Teorema: Sia x_n una successione; allora x_n ammette limite ℓ (finito o non finito) se e solo se ogni sottosuccessione di x_n ammette il limite ℓ (finito o infinito).

Esempio: La successione x_n = (−1)ⁿ non ammette limite, ovvero è indeterminata. Infatti esistono due sottosuccessioni di x_n che ammettono due limiti distinti, che sono 1 e −1; ne segue, per il teorema precedente, che la successione x_n non può ammettere limite, finito o infinito.

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Il seguente teorema, di Bolzano-Weierstrass, rappresenta il teorema più importante dell’intera teoria delle successioni reali.

Teorema (Bolzano-Weierstrass): Sia data una successione x_n limitata, ovvero tale per cui esiste c > 0 con |x_n| ≤ c per ogni n ∈ N; allora esiste una sottosuccessione convergente x_nh.

Dimostrazione. Sia x_n la successione di termine generale x_n, e sia I = Im(x_n); se I è finito, allora si conclude facilmente poiché almeno un elemento ℓ ∈ I deve corrispondere ad infiniti indici n_h, per definizione di sottosuccessione. Ne segue che la sottosuccessione x_nh converge ad ℓ, essendo costante.

Possiamo quindi supporre che I sia un insieme infinito; dal momento che x_n è limitata, esistono a < b numeri reali tali che a ≤ x_n ≤ b per ogni n ∈ N. Sia α il valore medio tra a e b, ovvero α = (a + b)/2; si considerino dunque I₁ = {y ∈ R : a ≤ y ≤ α} e I₂ = {y ∈ R : α ≤ y ≤ b}.

Allora I ha infiniti elementi in I₁ oppure in I₂, poiché se avesse un numero finito di elementi sia