Analisi I e II università : Superfici in R^3

Gianni Sammito, appunti di Analisi II

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Superfici in R

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Un esempio di superficie in R è la superficie di una sfera con centro nell’origine e raggio R > 0, la cui equazione implicita è:

x² + y² + z² = R².

Conoscendo latitudine e longitudine, rispettivamente θ ∈ [−π/2, π/2] e φ ∈ [0, 2π], è possibile impostare l’equazione parametrica di tale superficie:

x = R cos(θ) cos(φ)

y = R cos(θ) sin(φ)

z = R sin(θ).

A questa trasformazione corrisponde la seguente funzione a valori vettoriali:

r : [−π/2, π/2] × [0, 2π] → R³ : (θ, φ) → (R cos(θ) cos(φ), R cos(θ) sin(φ), R sin(θ)).

Una curva regolare è una curva le cui componenti si possono derivare e sono tutte diverse da zero.

Scegliamo un punto sulla superficie della sfera, e vediamo cosa succede muovendoci su φ e lasciando costante θ. Fissato θ ∈ R si ottiene una funzione a valori vettoriali in una sola variabile φ → r(θ⁰, φ).

Ad esempio, scegliendo θ = π/4 si ottiene:

r(π/4, φ) = (R/√2 cos(φ), R/√2 sin(φ), R/√2).

Quindi, mantenendo θ costante e lasciando variare φ, si ottiene una curva. La derivata rispetto a φ vale:

∂r/∂φ (π/4, φ) = (−R/√2 sin(φ), R/√2 cos(φ), 0).

Questo vettore è sempre diverso dal vettore nullo, perché seno e coseno non possono annullarsi contemporaneamente, quindi la curva ottenuta è regolare.

∂r/∂φ è un vettore tangente alla curva r(π/4, φ). La curva ottenuta mantenendo costante θ (i.e. la latitudine) è un parallelo.

Supponiamo ora di fissare φ, scegliendo φ = 3π/2, e lasciamo variare θ.

r(θ, 3π/2) = (0, −R cos(θ), R sin(θ)).

Per gli stessi motivi anche la curva così ottenuta è regolare, infatti il vettore tangente vale:

∂r/∂θ (θ, 3π/2) = (0, R sin(θ), R cos(θ)).

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Gianni Sammito, appunti di Analisi II

Il punto di intersezione fra le due curve considerate si ottiene per θ = π/4 e φ = 3π/2.