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Gianni Sammito Appunti di Analisi II
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Superfici in R
3
Un esempio di superficie in R è la superficie di una sfera con centro nell’origine e raggio R > 0,
la cui equazione implicita è 2 2 2 2
x + y + z = R ¤
£ π
π e ϕ ∈ [0, 2π] è possibile
,
Conoscendo latitudine e longitudine, rispettivamente θ ∈ − 2
2
impostare l’equazione parametrica di tale superficie
x = R cos(θ) cos(ϕ)
y = R cos(θ) sin(ϕ)
z = R sin(θ)
A questa trasformazione corrisponde la seguente funzione a valori vettoriali
i
h π
π × [0, 2π] → R : (θ, ϕ) 7→ (R cos(θ) cos(ϕ), R cos(θ) sin(ϕ), R sin(θ))
,
r : − 2
2
Una curva è regolare se le sue componenti si possono derivare e sono tutte diverse da zero.
Scegliamo un punto sulla superficie della sfera, e vediamo cosa succede muovendoci su ϕ e
lasciando costante θ. Fissato θ ∈ R si ottiene una funzione a valori vettoriali in una sola
0
variabile ϕ 7→ r (θ , ϕ)
0
π si ottiene
Ad esempio, scegliendo θ =
0 4 !
à √
√
√
´
³ 2
2
2
π sin(ϕ), R
cos(ϕ), R
R
,ϕ =
r 2
2
2
4
Quindi mantenendo θ costante e lasciando variare ϕ si ottiene una curva. La derivata rispetto a
ϕ vale !
à √
√
´
³ 2
2
π
∂r cos(ϕ), 0
, sin(ϕ), R
−R
, ϕ = 2
2
4
∂ϕ
Questo vettore è sempre diverso dal vettore nullo, perché seno e coseno non possono annullarsi
contemporaneamente, quindi la curva ottenuta è regolare.
¢
¡ π
∂r , ϕ . La curva ottenuta mantenendo costante θ (i.e. la
è un vettore tangente alla curva r 4
∂ϕ π , e lasciamo variare θ.
latitudine) è un parallelo. Supponiamo ora di fissare ϕ, scegliendo ϕ = 3
!
à √
´
³ 3
R
π cos(θ), R sin(θ)
cos(θ), R
=
r θ, 2
2
3
Per gli stessi motivi anche la curva cosı̀ ottenuta è regolare, infatti il vettore tangente vale
!
à √
´
³ 3
R
π
∂r sin(θ), R cos(θ)
sin(θ), −R
= −
θ, 2
2
3
∂θ 1
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Gianni Sammito Appunti di Analisi II π
π . In questo
e ϕ =
Il punto di intersezione fra le due curve considerate si ottiene per θ = 3
4
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