Analisi I e II università : Successioni in R^n

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

n

Successioni in R

(k) (k) (k) n

Siano x , x , . . . , x n successioni a valori in R. Una successione a valori in R è una

n

1 2

successione del tipo ³ ´

(k) (k)

(k) (k)

x = x , x , . . . , x n

1 2

in cui ogni componente dà luogo ad una successione di numeri reali. Pertanto una successione a

n

valori in R dà luogo a n successioni a valori in R.

¢

¡ 1 2

,k , k ∈ N \ {0}, è una successione a valori in R

Esempio: k Figura 1: Rappresentazione grafica della succesione considerata

(k) n n (k)

Definizione: Sia x una successione a valori in R e sia x ∈ R . Si dice che x converge a

(k)

x, in simboli x → x, se ∗ (k) ∗

∀ε > 0 ∃k ∈ N : kx − xk < ε ∀k ≥ k

∗ ∗ (k)

ovvero se comunque si scelga ε > 0, esiste un k ∈ N tale che per ogni k ≥ k la distanza fra x

e x è minore di ε. ³ ´

(k) (k) (k)

(k)

In particolare, sia x = (x , x , . . . , x ) e sia x = x , x , . . . , x

n

1 2 n 1 2

1

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Gianni Sammito Appunti di Analisi II

(k)

Proposizione: La successione x converge a x se e solo se ciascuna componente della suc-

cessione converge alla rispettiva componente del vettore x. Quindi

 (k)

 x → x

 1

1



 (k)

 x → x



 2

2

(k)

(k) x → x

x → x ⇐⇒ 3

3

 ..





 .





 (k)

x → x

n n

Esempio: Si consideri la successione dell’esempio precedente

¶

µ

³ ´ 1

(k) (k)

(k) , k , k ∈ N \ {0}

x = x , x =

1 2 k

(k) (k)

Risulta x → 0 x → +∞

1 2

La prima componente converge, la seconda no, pertanto la successione non converge.

3

Esempio: Si consideri la seguente successione a valori in R ¶¶

µ

µ 2 1

k

(k) −k , cos

x = e , 2 k

k +1

Visto che ¶

µ

2 1

k

−k → 1

→ 1 cos

e → 0 2 k

k + 1

(k)

allora la successione x converge a (0, 1, 1).

Punti di accumulazione di un insieme

n n

Sia A ⊂ R un sottoinsieme di R .

n

Si dice che x ∈ R è un punto di accumulazione di A se ∀R > 0 risulta B(x, R)∩A\{x} 6 = ∅,

• cioè se ogni intorno sferico aperto di x interseca A in (almeno) un punto diverso da x.

• Se x ∈ A non è di accumulazione per A allora x è un punto isolato di A. Questo acca