Massimi e minimi di funzione in due variabili 14

Determinare, tra i punti della curva piana

2 2

g(x, y) = 4x + 6xy + 4y − 8 = 0

quelli a distanza massima ed a distanza minima dall’origine degli assi.

Cerchiamo, allo scopo, massimi e minimi assoluti per la funzione

soluzione. 2 2

f (x, y) = x + y

vincolata sulla curva g(x, y) = 0; (f rappresenta il quadrato della distanza di un punto (x, y)

dall’origine degli assi; massimizzare o minimizzare il quadrato è equivalente a massimizzare o

minimizzare la distanza). Osserviamo che la curva data è un ellisse, ed essendo tale, è un insieme

chiuso e limitato; f è continua ovunque, e dunque ammette massimo e minimo assoluto su

g(x, y) = 0. g è differenziabile ed è immediato verificare che il suo gradiente si annulla solo

nell’origine, che non è un punto di C. Andiamo quindi ad applicare il Metodo di Lagrange:

2 2 2 2

φ(x, y, λ) = x + y + λ(4x + 4y + 6xy − 8).

I punti critici di φ sono dati da  2x + 8λx + 6λy = 0

 2y + 8λy + 6xλ = 0

2 2

4x + 4y + 6xy − 8 = 0



da cui si ottengono le soluzioni 22 1

6

√ √

, ∓ .

,

P = (±2, ∓2, −1) P = ±

1/2 3/4 7

161 161

Osservando infine che 516

f (P ) = f (P ) = 8 f (P ) = f (P ) = < 8

1 2 3 4 161

ne segue che i punti a distanza massima sono P e P , mentre i punti a distanza minima sono P

1 2 3

e P .

4