Massimi e minimi di funzione in due variabili 14

Determinare, tra i punti della curva piana

g(x, y) = 4x² + 6xy + 4y² − 8 = 0

quelli a distanza massima ed a distanza minima dall’origine degli assi.

Soluzione

Cerchiamo, allo scopo, massimi e minimi assoluti per la funzione

f(x, y) = x² + y²

vincolata sulla curva g(x, y) = 0; (f rappresenta il quadrato della distanza di un punto (x, y) dall’origine degli assi; massimizzare o minimizzare il quadrato è equivalente a massimizzare o minimizzare la distanza).

Osserviamo che la curva data è un ellisse, ed essendo tale, è un insieme chiuso e limitato; f è continua ovunque, e dunque ammette massimo e minimo assoluto su g(x, y) = 0.

g è differenziabile ed è immediato verificare che il suo gradiente si annulla solo nell’origine, che non è un punto di C.

Andiamo quindi ad applicare il Metodo di Lagrange:

φ(x, y, λ) = x² + y² + λ(4x² + 4y² + 6xy − 8).

I punti critici di φ sono dati da

2x + 8λx + 6λy = 0
2y + 8λy + 6xλ = 0
4x² + 4y² + 6xy − 8 = 0

da cui si ottengono le soluzioni

P₁ = (±2, ∓2, −1),

P₂ = (±2, ∓2, −1),

P₃ = (±2/√7, ±2/√7, −1/7),

P₄ = (±2/√7, ±2/√7, −1/7).

Osservando infine che

f(P₁) = f(P₂) = 8

f(P₃) = f(P₄) = 8/7 < 8

ne segue che i punti a distanza massima sono P₁ e P₂, mentre i punti a distanza minima sono P₃ e P₄.