Esercizio sulle derivate 2

Per ciascuna delle seguenti funzioni, si dimostri che esiste ed è derivabile la funzione inversa

denotata con g, e si calcoli la quantità a fianco indicata.

(1)

f(x) = 3x + 2 + e^4x, g′(3) =?

(2)

f(x) = 2x⁴ + 3 log x, g′(2) =?

(3)

f(x) = e^−6x + 1, g′(2) =?

(4)

f(x) = e^6(x−1) + 6x⁵, g′(7) =?

(5)

f(x) = 7x + sin(x + 1), g′(−7) =?

Soluzione

(1)

La funzione data è definita e derivabile in tutto R; inoltre si ha

f′(x) = 3 + 4e^4x > 0, ∀x ∈ R.

Dunque f è strettamente monotona (crescente), dunque invertibile, e f′(x) ≠ 0 per ogni x ∈ R.

Ora si ha f(x) = 3 ⇔ x = 0

e dunque

g′(3) = 1/f′(0) = 1/7

da cui 3 = 21.

g′(3)

(2)

La funzione data è definita e derivabile in (0, +∞); inoltre si ha

f′(x) = 8x³ + 3/x > 0, ∀x ∈ (0, +∞).

Dunque f è strettamente monotona (crescente), dunque invertibile, e f′(x) ≠ 0 per ogni x ∈ (0, +∞).

Ora si ha f(x) = 2 ⇔ x = 1

e dunque

g′(2) = 1/f′(1) = 1/11

da cui

2/g′(2) = 22.