Punti critici per funzioni in due variabili

Verificare che la seguente equazione

x 2

F (x, y) = e y + (x − 1) cos y + 2x − 1 = 0

definisce una funzione y = f (x) in un intorno di (0, 0). Mostrare che tale funzione ha, in (0, 0),

un punto critico.

Si ha

soluzione. ∂F x 2

(x, y) = e − (x − 1) sin y,

∂y

da cui ∂F (0, 0) = 1.

∂y

Essendo F (0, 0) = 0 si ha, per il Teorema delle funzioni implicite, che esiste una funzione regolare

f : U → con U intorno di 0, tale per cui F (x, y) = 0 se e solo se y = f (x) per ogni x ∈ U .

R,

Dunque F (x, f (x)) = 0 per ogni x ∈ U , da cui deriva

d F (x, f (x)) = 0, ∀x ∈ U.

dx

x 2

Ora F (x, f (x)) = e f (x) + (x − 1) cos(f (x)) + 2x − 1, per cui derivando si ha

x x ′ 2 ′

e f (x) + e f (x) + 2(x − 1) cos(f (x)) − (x − 1) sin(f (x))f (x) + 2 = 0.

′

Essendo f (0) = 0 si ha f (0) = 0, ossia x = 0 punto critico per f .