Punti critici per funzioni in due variabili

Verificare che la seguente equazione

F(x, y) = e^{x 2} y + (x − 1) cos y + 2x − 1 = 0

definisce una funzione y = f(x) in un intorno di (0, 0). Mostrare che tale funzione ha, in (0, 0), un punto critico.

Si ha

soluzione. ∂F/∂y (x, y) = e^{x 2} − (x − 1) sin y,

da cui ∂F/∂y (0, 0) = 1.

Essendo F (0, 0) = 0 si ha, per il Teorema delle funzioni implicite, che esiste una funzione regolare f: U → R, con U intorno di 0, tale per cui F (x, y) = 0 se e solo se y = f(x) per ogni x ∈ U.

Dunque F (x, f(x)) = 0 per ogni x ∈ U, da cui deriva

d/dx F (x, f(x)) = 0, ∀x ∈ U.

Ora F (x, f(x)) = e^{x 2} f(x) + (x − 1) cos(f(x)) + 2x − 1, per cui derivando si ha

e^{x 2} f′(x) + e^{x 2} 2x + 2(x − 1) cos(f(x)) − (x − 1) sin(f(x))f′(x) + 2 = 0.

Essendo f(0) = 0 si ha f′(0) = 0, ossia x = 0 punto critico per f.