Massimi e minimi 4

Sia

f(x) = 3 + 2x⁶ - 3x⁴, x ∈ R.

Siano x₁ e x₂ gli unici due punti di minimo locale per f; quanto vale f(x₁) + f(x₂)?

soluzione. Al solito, la funzione è derivabile dappertutto, per cui ci limitiamo a trovare i punti critici. Si ha

f'(x) = 12x⁵ - 12x³ = 12x³(x² - 1)

da cui f ammette tre punti critici distinti, x = 0, x = 1 e x = -1. Tenuto conto della parità di f, e del fatto che

lim_{x → ±∞} f(x) = +∞

x₁ = -1 e x₂ = 1 devono essere i due punti di minimo locale. Allora f(x₁) + f(x₂) = 2f(1) = 4.