Integrale di linea 6

Sia T il poligono piano di vertici (0, 1), (1, 1), (3, 0), (1, -1), (0, -1); sia C la curva-bordo di T percorsa una sola volta in senso antiorario. Sia F(x, y) = 3yi + x³y³j. Calcolare

↼_C F · dr.

soluzione. C è una curva piana chiusa; per il Teorema di Green-Stokes piano si ha

↼_C F · dr = ∫_T (3x³y³ − 3) dxdy

dove T è la regione interna delimitata dalla curva C. Per simmetria si ha

∫_T (3x³y³ − 3) dxdy = −3 ∫_T dxdy = −3|T| = −12.