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Dire se è continua nell’origine la funzione
f(x, y) = { xy / sqrt(x2 + y2) (x, y) ≠ (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0).
Soluzione
La funzione data è sicuramente continua per (x, y) ≠ (0, 0), poiché composizione di funzioni continue; per controllare la continuità nell’origine andiamo a calcolare:
lim(x,y)→(0,0) f(x, y).
Passando a coordinate polari
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
si ha che
F(ρ, θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ2 cos θ sin θ / ρ = ρ cos θ sin θ
da cui
0 <= |F(ρ, θ)| <= ρ.
Per il Teorema del confronto si ha
limρ→0 F(ρ, θ) = 0
uniformemente in θ [0, 2π]; dunque effettivamente il limite vale 0, e quindi f è continua nell’origine.
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