Equazione differenziale ordinaria 10

Risolvere il problema di Cauchy

{ _u'(x) = e^-u(x) log x u(1) = 0. }

Soluzione. L'equazione è variabili separabili; si ha quindi

∫ e^udu = e^u + k₁

∫ log x dx = x log x − ∫ ¹/_x dx = x(log x − 1) + k₂.

Allora

e^u(x) = x(log x − 1) + c c ∈ ℝ

da cui

u(x) = log (x(log x − 1) + c).

Infine la condizione u(1) = 0 dà:

0 = u(1) = log (–1 + c) ⟹ c = 2.

Dunque

u(x) = log (x(log x − 1) + 2).

Anche qui non si pone il problema di e^u = 0, poichè non capita mai. Il dominio della soluzione è quindi il dominio della u trovata.