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Risolvere il problema di Cauchy
u'(x) = e-u(x) log x u(1) = 0.
Soluzione. L'equazione è a variabili separabili; si ha quindi
eu du = eu + k1
log x dx = x log x - 1/x dx = x(log x - 1) + k2.
Allora
eu(x) = x(log x - 1) + c c R
da cui
u(x) = log (x(log x - 1) + c).
Infine la condizione u(1) = 0 dà:
0 = u(1) = log (-1 + c) => c = 2.
Dunque
u(x) = log (x(log x - 1) + 2).
Anche qui non si pone il problema di eu = 0, poiché non capita mai. Il dominio della soluzione è quindi il dominio della u trovata.
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