Trovare gli eventuali massimi e minimi liberi della funzione
f(x, y) = x2y − x4 − y3.
f è differenziabile su tutto R2, e dunque i massimi e minimi liberi devono essere punti critici; cerchiamo quindi le soluzioni di ∇f(x, y) = 0, ovvero
∂f/∂x = 0
∂f/∂y = 0
e dunque
x(y − 2x2) = 0
x2 − 3y2 = 0
che ha come soluzioni
P1 = (0, 0)
P2 = (−√3/6, 1/6)
P3 = (√3/6, 1/6)
Calcoliamo ora l’Hessiano di f:
H =
2y − 12x2 2x
2x −6y
dunque
H(P1) =
0 0
0 0
ovvero il punto (0, 0) necessita di uno studio locale; osserviamo che f(x, y) − f(0, 0) = f(x, y), e che, lungo la retta x = 0, f(x, y) = −y3. Ne segue che in un qualsiasi intorno di (0, 0), f assumerà sia valori positivi sia valori negativi: di conseguenza (0, 0) è punto di sella per f.
Per quanto riguarda P2 si ha
H(P2) =
−2/3 −√3/3
−√3/3 −1
Volendo calcolare gli autovalori di H(P2), si deve risolvere
|−2/3 − λ −√3/3|
|−√3/3 −1 − λ| = 0
ovvero
3λ2 + 5λ + 1 = 0
che ha due soluzioni negative; ne segue che P2 è un massimo locale.
Infine per P3 si ha
H(P3) =
−2/3 √3/3
√3/3 −1
Con conti analoghi, anche P3 risulta massimo locale per f.
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