Equazioni differenziali ordinarie 24

Risolvere il problema di Cauchy

\[ \begin{cases} u''(x) + 2u'(x) + u(x) = 4e^x,\\ u(0) = 2,\\ u'(0) = 0. \end{cases} \]

Il polinomio caratteristico è dato da

\[ \lambda^2 + 2\lambda + 1 \]

soluzione.

che ha due radici coincidenti \(\lambda_1 = \lambda_2 = -1\). Ne segue che due soluzioni indipendenti dell’equazione omogenea associata, sono date da

\[ u_1(x) = e^{-x}, \qquad u_2(x) = xe^{-x}. \]

Per trovare la soluzione dell’equazione, si può cercare una soluzione particolare della forma

\[ v(x) = \alpha e^x. \]

Si ha

\[ v'(x) = \alpha e^x = v''(x). \]

Quindi, affinché \(v\) sia soluzione deve essere

\[ v''(x) + 2v'(x) + v(x) = 4e^x \]

e dunque

\[ 4\alpha e^x = 4e^x \]

per ogni \(x\) reale; tale equazione (in \(\alpha\)) ha la soluzione \(\alpha = 1\). Ne segue che una soluzione dell’equazione è

\[ v(x) = e^x. \]

Quindi tutte le soluzioni sono date da

\[ u(x) = c_1e^{-x} + c_2xe^{-x} + e^x. \]

Inserendo \(u(0) = 2\) si ha \(2 = u(0) = 1 + c_1 \Rightarrow c_1 = 1\).

Calcolando \(u'(x)\), si ottiene

\[ u'(x) = e^x - e^{-x}(1 + c_2x) + e^{-x}c_2. \]

Infine si ha

\[ 0 = u'(0) = 1 - 1 + c_2 \Rightarrow c_2 = 0. \]

Ne segue che la soluzione particolare è

\[ u(x) = e^x + e^{-x}. \]