Esercizio sulle derivate 12

Discussione della derivabilità

Discutere la derivabilità della seguente funzione definita su tutto R:

\(f(x)=\begin{cases} 0 & x=0,\\ x²\sin\left(\frac{1}{x}\right) & x\ne 0. \end{cases}\)

Il grafico della funzione data è il seguente:

Soluzione

La funzione f è continua anche in x = 0; infatti

0 ≤ \(\left|x²\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\) ≤ x²

e si applica nuovamente il Teorema del confronto per i limiti. Andiamo a calcolare, se esiste,

f'(0) (altrove non ci sono problemi di derivabilità):

f'(0) = \(\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}\) = \(\lim_{h\to 0}h\sin\left(\frac{1}{h}\right)=0\).

Ne segue che f è derivabile anche in x = 0. f' è data, per x ≠ 0, da

f'(x) = \(2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)+x²\cos\left(\frac{1}{x}\right)\left(-\frac{1}{x²}\right)\) = \(2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right)\),

la quale ha grafico: f'.

Si evince dal grafico, e si verifica direttamente, che f' non ha limite per x → 0; ne segue che f' non è una funzione continua. Dunque f è una funzione derivabile in x = 0, ma con derivata non continua in x = 0.