Documenti didattici di Matematica

Si provano n = 100 processori di questo tipo: siano [math] \bar{T}_{100} = \frac{1}{100}(T_1+…+T_{100}) [/math] la media campionaria dei tempi di vita osservati. Utilizzando il teorema del limite centrale, stimare approssimativamente: 1) [math] P...

Inoltre, siano [math] \mu = 2 [/math] e [math] \sigma^2 = 4 [/math] media e varianza delle variabili aleatorie in questione. 1) Scrivere la disuguaglianza di Chebyshev per [math] P(|X_1 - 2| \ge 5) [/math]; 2) Scrivere la disuguaglianza di Cheby...

Se si provano 16 componenti di questo tipo, quanto vale (approssimativamente) la probabilità che la media campionaria delle loro durate sia: 1) minore di 104 ore; 2) compresa tra 98 ore e 104 ore (calcolare tali probabilità utilizzando l’appro...

Utilizzando l’approssimazione normale, calcolare: 1) la probabilità che vi siano più (≥) di 420 bit uguali a 1; 2) la probabilità che il numero di bit uguali a 1 sia compreso tra 390 e 410

Sia [math] X_i [/math] la variabile aleatoria che rappresenta l'aumento di peso della cavia i-esima dopo aver seguito la dieta. 1) Supponiamo che μ = 12, Utilizzando l’approssimazione normale, calcolare la probabilità che la differenza in valore asso...

Posto: [math] S_{150} = X_1 + X_2 + ... + X_{150} [/math] e [math] \bar{S}_{150} = \frac{S_{150}}{150} [/math]. 1) Sappiamo che per delle variabili aleatorie di legge esponenziale vi sono delle formule note per la media e la varianza; in particola...

Stimare: [math]P(40 \lt S_{100} \lt 60)[/math] nel caso in cui [math]p = 0.5[/math] [math]\delta[/math] affinché [math] P(800 - \delta \lt S_{1600} \lt 800 + \delta) \gt 0.95[/math] nel caso in cui [math]p = 0.5[/math] Il numero di lanci aff...

Sappiamo che in un'estrazione del lotto vengono estratti 5 numeri. Considerando che in totale abbiamo 90 palline, tutte le possibili configurazioni di 5 elementi sono date dal coefficiente binomiale seguente:

i) Sappiamo che le variabili aleatorie X_k sono Bernoulliane di parametri p = 1/2 . Possiamo calcolare la loro media e la loro varianza applicando le formule note: E[X_k] = p = 1/2 Var(X_k) = p(1-p) = 1/2 * 1/2 = 1/4 Ricordiamo che...

1) Qual è la probabilità che in un messaggio di 1600 bit proveniente dal canale A ci siano più di 750 bit uguali a 1? 2) Per decidere se un messaggio proviene dal canale A o dal canale B usiamo la procedure seguente: se il messaggio contiene più di 7...

Quanto grande occorre prendere un campione, affinché con probabilità [math] \ge 0,95 [/math] risulti che la media campionaria del peso dei salmoni di quest’anno sia precisa entro [math] \pm 5 g [/math]?

Consideriamo una successione di variabili aleatorie bernoulliane [math] X_n [/math] per cui [math] X_i [/math] assume il valore 1 se l'i-esimo lancio della moneta fornisce il valore testa, e 0 altrimenti.

Indichiamo con X una variabile aleatoria che conta il numero di teste uscite in 1000 lanci. Poiché X può essere intesa come somma di variabili aleatorie Bernoulliane, per cui ognuna di esse assume il valore 1 se l'uscita corrispondente è testa e assu...

Visti i risultati del dado, il marito crede che tocchi a lui troppo spesso: 33 volte su 50. Si tratta solo di sfortuna oppure il dado è effettivamente truccato per favorire la moglie?

1) stimare con la disuguaglianza di Chebicev [math] P\Big(|\bar X_n – \frac{1}{\lambda} | ≥ \epsilon \Big) [/math] 2) stimare la stessa quantità usando il Teorema del Limite Centrale; 3) confrontare le due stime per [math] \lambda = 2, \epsilo...

Breve appunto di algebra per le scuole medie per un ripasso veloce delle operazioni definite in Z, l'insieme dei numeri relativi interi.

Consideriamo una successione di variabili aleatorie {X_n} tali che X_i assume il valore 1 se l’i-esimo circuito è difettoso, e assume il valore 0 altrimenti. Le variabili aleatorie X_i sono tra loro indipendenti e seguono una legge di Bernou...

1) Se la numerosità del campione considerato è n = 36, quanto vale la probabilità che la media campionaria dei loro pesi sia compresa tra 75 e 79? 2) E se il campione ha numerosità 144?

Possiamo risolvere il problema introducendo una successione di variabili aleatorie {X_n} con n = 1, …, 450, tale che {X_i} assume il valore 1 se l’i-esimo studente iscritto frequenta i corsi universitari, e assume il valore 0 altrimenti. Sappiamo...

Supponiamo di avere due dadi, e osserviamo tutte le possibili uscite a?nch? il numero risultante dalle due facce sia 6; otteniamo il seguente insieme di coppie: {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} Allo stesso modo, osserviamo tutti i casi possibili