Integrali: Calcolare [math] \int_{{{D}}}{e}^{{{\left({x}-{1}\right)}^{2}+{\left({y}-{1}\right)}^{2}}}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.} [/math]

Calcolare

∫_D e^{(x−1)2+(y−1)2} dxdy

D

Dove D = {(x, y) ∈ R² | x² + y² − 2x − 2y ≤ 0}.

D è la parte interna di una circonferenza centrata in (1, 1) e di raggio √2; trattiamo anzitutto tale circonferenza portando il centro nell’origine degli assi.

Soluzione

Operiamo dunque la sostituzione x − 1 = x̄,

y − 1 = ȳ.

Allora il dominio D diventa

Ω = {(x̄, ȳ) ∈ R² | x̄² + ȳ² ≤ 2}.

Intanto si ha

∫_D e^{(x−1)2+(y−1)2} dxdy = ∫_Ω e^x̄2+ȳ2 dx̄dȳ.

Calcoliamo ora l’ultimo integrale cambiando in coordinate polari piane. Si ha

∫_Ω e^x̄2+ȳ2 dx̄dȳ = ∫_Ω e^̺2 ̺d̺dϑ,

dove

Ω = {(̺, ϑ) ∈ R² | ̺ ∈ [0, √2), ϑ ∈ [0, 2π)}.

Allora si ha

∫_Ω e^̺2 ̺d̺dϑ = 2π∫₀^√2 e^̺2 ̺d̺ = π(e² − 1).

= π(e^̺2)₀^√2 = π(e² − 1).