Trigonometria: Equaz. cartesiana del luogo di equazioni parametriche [math]x=sin^4 α +cos^4 α; y=sin^2 α[/math]

Trovare l'equazione cartesiana del luogo dei punti del piano cartesiano con equazioni parametriche

x = sin⁴ + cos⁴y = sin² cos² con parametro reale.

La prima relazione può essere scritta nella forma x = (sin² + cos²)² - 2sin² cos², da cui, ricordando la relazione fondamentale della goniometria, si ha x = 1 - 2sin² cos², da cui sin² cos² = (-x+1)/2; tenendo conto della seconda equazione parametrica si ha y = (-x+1)/2, da cui x + 2y - 1 = 0.

Tuttavia il luogo non è costituito da tutti i punti di tale retta. Infatti, scrivendo la seconda equazione parametrica nella forma y = 1/4 sin² 2, si nota che, al variare di in IR, y assume solo i valori reali da 0 a 1/4; scrivendo poi la prima equazione parametrica nella forma x = 1 - 1/2 sin² 2, si nota che x assume solo i valori reali da 1/2 a 1. Il luogo è pertanto il segmento della suddetta retta rappresentato in figura:

y 1/4 1/2 1 x

Prof. F. Camia