Serie: Dimostrare che si ha [math] \sin{{x}}={\sum_{{{n}={0}}}^{{+\infty}}}{\left(-{1}\right)}^{n}\frac{{x}^{{{2}{n}+{1}}}}{{{\left({2}{n}+{1}\right)}!}},\forall{x}\in\mathbb{R} [/math]

Dimostrare che si ha, per ogni x ∈ R:

sin x = ∑_n=0^+∞ (−1)^{n x2n+1} / (2n + 1)!

Soluzione

Andiamo anzitutto a trovare la serie di Maclaurin della funzione f(x) = sin x.

f è derivabile infinite volte: si ha f′(x) = cos x, f″(x) = − sin x, f⁽³⁾(x) = − cos x, f⁽⁴⁾(x) = sin x + f(x), ecc. . . , da cui f(0) = 0, f′(0) = 1, f″(0) = 0, f⁽³⁾(0) = −1, f⁽⁴⁾(0) = 0, ecc. . . .

Dunque le derivate di ordine pari sono tutte nulle, mentre le derivate di ordine dispari sono alternativamente 1 o −1; ne segue che la serie di Maclaurin per f è data da

∑_n=0^+∞ (−1)^{n x2n+1} / (2n + 1)!

Tale serie è una serie di potenze; applichiamo quindi il criterio del rapporto per verificare dove essa converge. Si ha, per x ≠ 0,

lim_n→+∞ | x²ⁿ⁺³ / (2n + 3)! · (2n + 1)! / x²ⁿ⁺¹ | = lim_n→+∞ | x² / ((2n + 3)(2n + 2)) | = 0.

Quindi la serie di Maclaurin di f(x) = sin x converge assolutamente per ogni x ∈ R.

Sia g(x) la somma della serie, ovvero

g(x) = ∑_n=0^+∞ (−1)^{n x2n+1} / (2n + 1)!

Allora g : R → R è derivabile infinite volte e si ha, per il Teorema di derivazione per serie di una serie di potenze,

g′(x) = ∑_n=0^+∞ (−1)^{n x2n} / (2n)!

Applicando nuovamente il Teorema di derivazione per serie si ha

g″(x) = ∑_n=1^+∞ (−1)^{n x2n−1} / (2n − 1)! = − ∑_m=0^+∞ (−1)^{m x2m+1} / (2m + 1)!

Avendo posto m = n − 1. Abbiamo quindi trovato g″(x) = −g(x), che ha per equazione caratteristica associata λ² + 1 = 0. Quindi tutte le soluzioni sono date da g(x) = c₁ cos x + c₂ sin x.

Ma dalla definizione di g si ha g(0) = 0 e g′(0) = 1; inserendo tali condizioni si trova c₁ = 0, c₂ = 1, da cui g(x) = sin x.