Trigonometria: Equazione cartesiana del luogo di equazioni parametriche [math]{x}= \sin{\alpha}- \cos{\alpha};{y}= \cos{{2}}\alpha[/math]

Equazione cartesiana del luogo dei punti

Trova l'equazione cartesiana del luogo dei punti del piano cartesiano con equazioni parametriche:

x = sin - cos

y = cos²

con parametro reale.

Eliminazione del parametro

Per una formula di duplicazione del coseno si ha

y = cos² - sin², da cui

y = (cos - sin)(cos + sin)

da cui, utilizzando la prima relazione si ottiene y = x(cos + sin).

Considerando il sistema

sin - cos = x

sin + cos = y/x

e risolvendolo nelle incognite sin e cos, si ottiene: sin = (x² + y)/(2x), cos = (y - x²)/(2x).

Ricordando la relazione fondamentale della trigonometria sin² + cos² = 1 si ottiene:

((x² + y)/(2x))² + ((y - x²)/(2x))² = 1, da cui x⁴ - 2x² + y² = 0, che è l'equazione cartesiana richiesta.

Prof. F. Camia