Integrali: Calcolare [math] \int_{{{V}}}{\left({z}+{x}^{3}- \sin{{y}}\right)}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}{\left.{d}{z}\right.} [/math]

Revisionato il 20/10/2026

di lussardi

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Svolgimento del seguente integrale: [math] \int_{{{V}}}{\left({z}+{x}^{3}- \sin{{y}}\right)}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}{\left.{d}{z}\right.} [/math]

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Calcolare

integral_V (z + x³ - sin y) dx dy dz,

dove V = { (x, y, z) in R³ : x² + y² + z² <= 9, z >= 0 }.

Soluzione

Passando a coordinate sferiche (rho, phi, theta) si ha che V viene trasformato nell'insieme W = { (rho, phi, theta) in [0, +infinity) x [0, pi) x [0, 2pi) : 0 <= rho <= 3, 0 <= phi <= pi/2, 0 <= theta <= 2pi }; quindi si ha

integral_V (z + x³ - sin y) dx dy dz = integral_V z dx dy dz = integral_W rho³ cos phi sin phi d rho d phi d theta =

= integral₀³ ((integral₀^pi/2 (integral₀^2pi rho³ cos phi sin phi d theta) d phi)) d rho = 1/8 (rho⁴)|₀³ (sin² phi)|₀^pi/2 (theta)|₀^2pi = 81/4 pi.