Trova appunti, tesi, riassunti e versioni

Raccolta di problemi supplementari di geometria nello spazio: rette, piani, vettori, triangoli, sfere e distanze. Esercizi di sintesi pensati per consolidare il programma dopo lo studio completo del corso.

Spiega la convergenza delle serie infinite in analisi matematica: definizione tramite somme parziali, condizione necessaria dei termini nulli e criterio per le serie geometriche. Include esempi di divergenza e oscillazione.

Le progressioni geometriche sono successioni in cui il rapporto tra due termini consecutivi resta costante. Scopri definizione, ragione, primo termine e formula dell’n-esimo termine per calcolare rapidamente ogni valore.

Spiega come approssimare la serie alternata ∑(-1)^n/n! con errore minore di 10^-3. Usa il criterio di Leibniz per stimare il resto e determina quante somme parziali servono per ottenere l’approssimazione richiesta.

Analisi della convergenza della serie alternata con termine n+1/n·sin(1/n): si verifica il limite del termine generale, la monotonia della funzione associata e l’applicazione del criterio di Leibniz per concludere sulla convergenza.

Analisi del dominio di una funzione di due variabili: condizioni di esistenza, studio di limitatezza e connessione per archi, con interpretazione geometrica della regione definita da radici e potenze. Soluzione guidata e rigorosa.

Analisi della continuità di una funzione in due variabili con studio del limite in origine. Il testo mostra come verificare che (x²+y²)log(x²+y²) tende a 0 per (x,y) che va a (0,0), dimostrando la continuità.

Analisi di un esercizio sulle derivate parziali: studio della continuità e della differenziabilità di una funzione in un punto, con calcolo dei limiti e verifica delle derivate parziali. Una guida utile per comprendere il metodo di soluzione.

Spiegazione guidata sulla derivata direzionale di una funzione di due variabili: calcolo del gradiente, valutazione nel punto (1,1) e applicazione al vettore direzione. Utile per capire il metodo in modo chiaro.

Scopri come calcolare la matrice jacobiana del cambio di coordinate sferiche in R3, derivando la trasformazione dalle variabili ρ, φ e ϑ fino al determinante ρ2 sin φ. Un esempio chiaro di calcolo differenziale in più variabili.

Guida al calcolo di massimi e minimi assoluti di funzioni in due variabili su insiemi chiusi e limitati: punti critici, frontiera e teorema di Weierstrass, con un esercizio svolto passo passo per capire il metodo.

Guida al calcolo di massimi, minimi e punti di sella in funzioni di due variabili, con il metodo del gradiente e dell’Hessiano. L’esempio su f(x, y)=xy mostra come individuare l’unico punto stazionario e classificarlo correttamente.

Guida chiara ai massimi e minimi di funzioni di due variabili con esercizi svolti, calcolo delle derivate parziali, punti critici e vincoli. Approfondisci il metodo per studiare la continuità e l’analisi locale.

Spiegazione del calcolo del limite per x che tende a meno infinito con forma indeterminata e applicazione ripetuta del teorema di de l’Hôpital, utile per capire come trattare potenze e funzione esponenziale nei problemi di analisi.

Esercizio svolto sui massimi e minimi di una funzione razionale: si individuano i punti critici, si studia il segno della derivata e si determina l’unico massimo locale, calcolando poi il valore richiesto.

Analisi della derivabilità di f(x)=x sin(1/x) in x=0: si verifica che la funzione è continua nell’origine, ma non derivabile. Il risultato deriva dallo studio del rapporto incrementale e dal confronto dei limiti.

Approfondisci un problema di Cauchy sulle equazioni differenziali ordinarie: determina la soluzione di x u'(x) + 2u(x) = 0 con u(1)=3, poi calcola u''(1) e 8u'(2) con un metodo rapido, rigoroso e immediato.

Esercizio sulle equazioni differenziali ordinarie: soluzione del problema di Cauchy per un’ODE lineare del secondo ordine, calcolo di u''(0) e u(1), determinazione dell’equazione caratteristica e della soluzione particolare.

Analisi del carattere della serie sommatoria di (n^2+2)/2^n: spiega come applicare il criterio della radice per stabilire la convergenza, con passaggi ordinati, motivazione rigorosa e conclusione chiara.

Guida alla soluzione di un problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine: equazione caratteristica, soluzione omogenea, particolare e condizioni iniziali, fino al calcolo finale del valore richiesto.