Esercizio sulle derivate parziali 5

Sia 7 2 2 5

 y + x y + x y (x, y) 6 = (0, 0)



f (x, y) = 2 4

x + y

0 (x, y) = (0, 0).



Stabilire se

a) f è continua in (0, 0);

b) f è differenziabile in (0, 0).

Si ha

soluzione. 2 4 5 2 5 7

7 2 2 5 |(x + y )y − y + x y + y |

y + x y + x y = ≤

0 ≤ 2 4 2 4

x + y x + y

5

|y | 2 2

2 2 ≤ |y| + |y + x − 1||y| → 0.

≤ |y| + |y + x − 1| 2 4

x + y

Dal Teorema del confronto si ha la continuità di f nell’origine.

Quanto alla differenziabilità in (0, 0) si ha

∂f f (t, 0)

(0, 0) = lim = 0;

∂x t

t→0 f (0, t)

∂f (0, 0) = lim =

∂y t

t→0

2

= lim t = 0, x 6 = 0.

t→0

f non è differenziabile nell’origine; infatti il differenziale dovrebbe essere l’applicazione nulla, ma

si ha che f (x, y)

lim p 2 2

x + y

|(x,y)|→0

non esiste, dal momento che lungo y = mx si trova, se x > 0,

7 4 4

f (x, y) m x + m + x m m

√ √

= → .

p 4 2 2 2

2 2 (1 + m x ) 1 + m 1 + m

x + y