Esercizio sulle derivate parziali 5

Sia

\[ f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{y^7+x^2y+x^5y}{x^2+y^4}, & (x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases} \]

Stabilire se:

• F è continua in (0, 0);
• F è differenziabile in (0, 0).

Soluzione

\[ 0\leq \frac{|y^7+x^2y+x^5y|}{x^2+y^4} =\frac{|(x^2+y^4)y^5-y^5x^2+x^2y+x^5y|}{x^2+y^4} \]

\[ \leq |y|^5+|y||y^4+x^3-1|\longrightarrow 0. \]

Dal Teorema del confronto si ha la continuità di f nell’origine.

Quanto alla differenziabilità in (0, 0) si ha:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{t\to 0}\frac{f(t,0)}{t}=0; \]

\[ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{t\to 0}\frac{f(0,t)}{t} =\lim_{t\to 0}t^2=0,\qquad x\ne 0. \]

F non è differenziabile nell’origine; infatti il differenziale dovrebbe essere l’applicazione nulla, ma

\[ \lim_{|(x,y)|\to 0}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} \]

non esiste, dal momento che lungo y = mx si trova, se x > 0,

\[ \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{m^7x^5+m+x^4m}{(1+m^4x^2)\sqrt{1+m^2}} \longrightarrow \frac{m}{\sqrt{1+m^2}}. \]