Derivate direzionali 1

Calcolare la derivata della funzione

f(x, y) = (x² – y²)e^x2–y2

nel punto (1, 1), rispetto alla generica direzione ū = v̄ + w̄.

Soluzione. Calcoliamo il gradiente di f: si ha

∂f/∂x (x, y) = 2xe^x2–y2 + (x² – y²)e^x2–y22x =

= 2xe^x2–y2(1 + x² – y²)

mentre

∂f/∂y (x, y) = –2ye^x2–y2 + (x² – y²)e^x2–y2(–2y) =

= –2ye^x2–y2(1 + x² – y²).

Ne segue che

∂f/∂ū (1, 1) = ∇f(1, 1) · (v̄ + w̄) = ∂f/∂x (1, 1)v + ∂f/∂y (1, 1)w = 2v – 2w.