Appunti di Ingegneria - Università Politecnica delle Marche - Ancona

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Dipartimento di Ingegneria Civile, Edile e Architettura

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Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione

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Dipartimento di Ingegneria Industriale e Scienze Matematiche

Indirizzo: Via Brecce Bianche 12, 60131 Ancona, Tel. 071 2204471 - f.polonara@univpm.it

Dipartimento di Scienze e Ingegneria della Materia, dell’Ambiente ed Urbanistica

Indirizzo: Via Brecce Bianche 12, 60131 Ancona, Tel. 071 2204710 - e.pasqualini@univpm.it

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Appunti di Ingegneria - Università Politecnica delle Marche - Ancona

Algebra lineare e Geometria - Spazi e Sottospazi vettoriali

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Il documento si configura come un insieme organico di appunti di algebra lineare, incentrato sullo studio di spazi vettoriali e sottospazi, con un’impostazione teorico-pratica. Si parte dalla definizione formale di spazio vettoriale su un campo, elencando e discutendo le proprietà fondamentali (chiusura, associatività, esistenza del neutro, elementi opposti, compatibilità tra somma e prodotto scalare). Viene approfondito il concetto di sottospazio vettoriale, evidenziando criteri di verifica (chiusura rispetto a somma e moltiplicazione per scalare) e la costruzione tramite combinazioni lineari. Seguono i concetti di dipendenza e indipendenza lineare, base e dimensione di uno spazio vettoriale, con applicazioni alla determinazione di basi di insiemi di vettori. Una sezione è dedicata alle applicazioni lineari, definite come funzioni che preservano somma e prodotto per scalare. Si analizzano nucleo e immagine, condizioni per l’isomorfismo tra spazi vettoriali e il legame tra iniettività, surgettività e dimensione. La formula di Grassmann viene presentata come strumento per calcolare la dimensione della somma di due sottospazi, introducendo anche il concetto di sottospazi supplementari. Infine, il documento illustra la rappresentazione cartesiana e parametrica dei sottospazi e propone esercizi svolti per rafforzare la comprensione dei concetti teorici.

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Algebra lineare e geometria - Applicazioni lineari

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Si parte dalla definizione di applicazione lineare tra spazi vettoriali, specificandone le proprietà fondamentali: additività e omogeneità. Vengono introdotti strumenti fondamentali come la matrice associata a un’applicazione rispetto a basi fissate, e viene mostrato come essa agisca sulle coordinate mediante moltiplicazione. Il nucleo e l’immagine dell’applicazione vengono analizzati sia dal punto di vista teorico che computazionale, con particolare attenzione al teorema fondamentale della dimensione (somma di dimensioni di nucleo e immagine). Si discutono inoltre isomorfismi, criteri di iniettività e suriettività, e la costruzione dell’applicazione inversa nei casi applicabili. Una parte significativa è dedicata al tema della diagonalizzazione: vengono definiti autovalori, autovettori, autospazi e analizzati i criteri per la diagonalizzabilità di un’applicazione (o matrice), con esempi espliciti di calcolo della forma diagonale e della base di autovettori. Il testo è corredato da numerosi esercizi svolti e osservazioni operative.

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Algebra lineare e geometria - Sistemi lineari

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Introduzione ai sistemi lineari, definiti come insiemi di equazioni lineari in più incognite, rappresentabili nella forma matriciale compatta AX = B, dove A è la matrice dei coefficienti, X il vettore delle incognite e B il vettore dei termini noti. Si discutono le condizioni di esistenza e unicità delle soluzioni: un sistema quadrato ha un’unica soluzione se il determinante di A è diverso da zero (teorema di Cramer), mentre per sistemi con determinante nullo si applica il teorema di Rouché-Capelli, che confronta il rango della matrice dei coefficienti con quello della matrice completa. Viene approfondita la distinzione tra sistemi omogenei e non omogenei, con particolare attenzione alle soluzioni banali e non banali. Il testo propone diversi esempi di risoluzione tramite calcolo diretto del determinante e uso del metodo di Gauss, sia per la risoluzione che per la determinazione del rango. Si introduce la nozione di matrice a scalini, utile per individuare i pivot e quindi il rango del sistema. L’approccio è progressivamente applicativo, con esercizi e casi particolari che mostrano le varie tipologie di soluzioni: nessuna, una o infinite.

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Algebra lineare e geometria - Prodotto scalare

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Introduzione del prodotto scalare canonico tra vettori in ℝⁿ, definendone formalmente la formula e mostrando come determinarlo con esempi numerici. Si stabilisce il concetto di ortogonalità (due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero) e si presentano le proprietà del prodotto scalare: bilinearità, simmetria e definizione positiva. Si definisce la norma (o modulo) di un vettore e si enunciano disuguaglianze fondamentali come quella di Cauchy-Schwarz. Segue una trattazione delle basi ortogonali e ortonormali, del procedimento di Gram-Schmidt per ottenere una base ortonormale da una qualsiasi base di uno spazio vettoriale, e del complemento ortogonale di un sottospazio. Il documento affronta anche il concetto di proiezione ortogonale, di matrici ortogonali, e presenta il teorema spettrale per endomorfismi simmetrici: ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile tramite una base ortonormale di autovettori. Infine, sono proposti esercizi su scomposizioni ortogonali, cambi di base ortogonali e costruzione di applicazioni lineari con determinate proprietà.

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Algebra lineare e geometria - Geometria del piano

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Trattazione sistematica della geometria analitica nel piano cartesiano. Si parte dalla definizione di riferimento cartesiano e dalle coordinate dei punti e dei vettori, introducendo la rappresentazione dei punti mediante vettori posizione. Si approfondiscono le rette nel piano, presentandone le equazioni sia parametriche che cartesiane, incluse le condizioni per il parallelismo e la perpendicolarità tra rette. Viene inoltre analizzata la distanza tra due punti, tra un punto e una retta e tra due rette parallele, con relative formule esplicite. Successivamente si introduce lo studio delle circonferenze, definendole sia per centro e raggio, sia tramite l’equazione cartesiana generale. Si esamina anche come determinare l’equazione della circonferenza passante per tre punti non allineati. Gli esercizi guidano lo studente nella costruzione delle equazioni parametriche e cartesiane di rette e circonferenze, nel calcolo di distanze e nel riconoscimento di figure geometriche nel piano.

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Esame Informatica medica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. M. Morettini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti del corso di Informatica medica della professoressa Micaela Morettini, completi, perfetti in preparazione dell’esame, ci sono anche esercitazioni svolte, appelli di esami svolti anche con spiegazioni.

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Domande aperte esame Biomateriali

Esame Biomateriali

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. A. Mazzoli

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Domande aperte

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Alcune domande aperte con risposta presenti all’esame di Biomateriali utili in preparazione allo svolgimento corretto, risposte date secondo gli appunti presi a lezione, linguaggio tecnico con tanto di descrizione immagini.

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Esame Strutture in cemento armato

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. R. Capozucca

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Prove svolte

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Risoluzione (in aula) di un telaio piano con il metodo degli spostamenti. 1- Studio delle parti isostatiche 2- Studio della reticolare associata e del cinematismo 3- Risoluzione dei vari Schemi per la determinazione delle incognite geometriche (rotazioni e traslazioni) 4- Equazioni di equilibrio risoluzione della matrice di rigidezza 5- Calcolo e grafici dei diagrammi del momento, taglio e sforzo assiale

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Domande Scienze dei materiali

Esame Scienze dei materiali

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. J. Donnini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Domande esempio del corso di d'esame di Scienze dei materiali della Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale presso L'università Politecnica delle Marche, sono domande prova, per aiutare nello studio.

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Domande materiali per studio Scienze dei materiali

Esame Scienze dei materiali

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. J. Donnini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Domande d'esempio del corso d'esame di Scienze dei materiali della Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale presso l'università degli Studi Politecnica delle Marche, sono domande prova, per aiutare nello studio.

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Corsi di Ingegneria - Università Politecnica delle Marche - Ancona

Corso di laurea in ingegneria civile e ambientale | Corso di laurea in ingegneria biomedica | Corso di laurea in ingegneria elettronica | Corso di laurea in ingegneria informatica e dell'automazione | Corso di laurea in ingegneria e gestione della produzione (PESARO) | Corso di laurea in ingegneria gestionale (FERMO) | Corso di laurea in ingegneria meccanica | Corso di laurea in ingegneria edile | Corso di laurea magistrale in ingegneria edile-architettura (ordinamento U.E. - 5 anni) | Corso di laurea magistrale in ingegneria civile | Corso di laurea magistrale in ingegneria edile | Corso di laurea magistrale in ingegneria dell'automazione industriale | Corso di laurea magistrale in ingegneria elettronica | Corso di laurea magistrale in ingegneria gestionale (FERMO) | Corso di laurea magistrale in ingegneria informatica | Corso di laurea magistrale in ingegneria meccanica industriale | Corso di laurea magistrale in biomedical engineering

Altre facoltà dell'università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Agraria | Economia | Interfacoltà | Medicina e chirurgia | Scienze matematiche fisiche e naturali