Appunti Biomeccanica del movimento

MATLAB:

Per dare ai gradi di libertà angolari questo significato di flesso-estensione, ab-adduzione,

rotazione interna-esterna dovrò applicare la convenzione di Grood e Suntay alla matrice di giunto

dell’articolazione in questione, che si ricava quando conosco le matrici di rotazione che per

ciascun segmento distale e prossimale, fanno passare dal sistema di riferimento anatomico del

segmento distale al fisso e la matrice di rotazione che fa passare dal sistema di riferimento

anatomico del segmento prossimale al fisso.

Una volta che ho le due matrici di rotazione che fanno passare dal mobile al fisso, calcolo la

matrice di giunto. , , :

E poi ricavo gli angoli

- L’angolo di flesso estensione me lo darà la rotazione intorno a Z. (perché in questa

convenzione è l’asse medio laterale)

- L’angolo di ab-adduzione me lo darà la rotazione intorno all’asse x, nella posizione che

questo assume dopo la prima rotazione, quindi rotazione intorno all’asse flottante

- L’angolo di rotazione interna-esterna me lo darà la rotazione intorno all’asse y

ALGORITMO:

METODO 1:

per determinare il sistema anatomico di pelvi:

noto che Z è l’asse parallelo all’asse passante per le ASIS e punta verso dx, quindi sarà:

à

RASIS – LASIS / ||RASIS – LASIS||; io voglio che y punti verso l’alto.

Metodo basato sul prodotto vettoriale, fa sì che il secondo asse che andiamo a trovare è l’asse

perpendicolare al piano contenente i 3 punti. v= vettore che congiunge il

punto medio delle PSIS con le

RASIS, lo normalizzo. Ho due

vettori appartenenti al piano (Z e

v), faccio il prodotto vettoriale,

poi normalizzo.

E posso calcolare la x: y x Z, e

non normalizzo poiché versori

perpendicolari tra loro.

Matrice che fa passare dalle

pelvi (prossimale)àglobale 93

Matrice R che fa passare dal distale (coscia) (fisso)

àglobale

Per quanto riguarda il sistema di riferimento distale (femore):

Il primo asse da determinare è l'asse y che passa per 2 punti, la testa del femore ed il

• punto medio dell’ epicondilo laterale mediale

⊥

Poi devo determinare l’asse

• E infine determino il rimanente asse

•

1.Trovo il punto medio dell’epicondilo laterale mediale (posso considerare anche l’origine del

sistema di riferimento di coscia)

2.Poi vado a calcolare la direzione dell’asse y, versore che punta verso l’alto.

3.Dopodichè mi serve un altro vettore appartenente al piano: i 3 marker sono HF, ME, LE, io

prendo come direzione di un vettore appartenente al piano, quella che va da OàLE, quindi il

vettore u = (LE-O) di cui dovrò fare il prodotto vettoriale.

× ×

u/ ||y u|| .

Faccio y ×

E posso calcolare la z: x y, e non normalizzo poiché versori perpendicolari tra loro.

alla fine, posso calcolare la matrice di giunto Rj

à (convenzione di Grood e Suntay, per il calcolo dei 3 angoli)

METODO 2:

Implementazione Matlab (con il metodo 1): 94

(con il metodo 2)

SOLUZIONI:

Matrice Rj: matrice di rotazione intorno a Z, flesso estensione.

,

L’angolo rappresenta una rotazione intorno all’asse Z, che è un asse medio laterale, quindi è

una flesso-estensione, ma l’anca è flessa o estesa?

Flessione anca: femore va verso la parte anteriore del corpo.

Estensione del corpo: il femore va verso la parte posteriore del corpo.

La rotazione positiva, antioraria della mano, corrisponde ad un avanzamento del femore: flessione

Se fosse stato un valore negativo, rotazione mano in senso antiorario: estensione del femore 95

LEZIONE 14

Occorre saper fare:

- Proiezione di un asse su di un determinato piano

- Calcolare angolo tra la proiezione e l’assegnato asse anatomico

ESERCIZIO:

Devo trovare un algoritmo che mi permetta di risolvere il problema:

1. Proiezione di v sul piano individuato da ed

" !

2. Calcolare angolo tra la proiezione ed un asse coordinato

ALGORITMO: ,

Suggerimento: devo esprimere v, definito nella base XYZ, in una nuova base ed un altro

" !

) , ⊥

vettore ( che sia linearmente indipendente da , ossia ad .

% " ! " ! , .

Poi bisogna cercare di esprimere v come combinazione lineare di questi vettori: " ! % 96

Matrice U (3x3), costituita da colonne che per costruzione sono colonne a vettori che

costituiscono una base, quindi colonne linearmente indipendenti, e questo vuol dire che il det(u)

diverso da 0 e la matrice sarà invertibile.

La proiezione di v sul piano me la darà solamente la somma dei primi due termini della

combinazione lineare.

Dentro la parentesi tonda c’è il coseno dell’angolo tra il versore del vettore proiezione ed il

versore dell’asse , che coincide con l’asse coordinato X.

" 97

PROGRAMMA MATLAB:

RISULTATI: 98

METODO ALTERNATIVO Potevamo approcciare il problema in modo

non sono

diverso poiché notiamo che " !

ortogonali. Posso pensare di ortogonalizzare

questa base e avere a che fare con una base

perpendicolare che è invece costituita da

" !

vettori che sono perpendicolari.

Se la mia base è perpendicolare posso calcolare

gli angoli andando a proiettare l’asse v su di una

base costituita da vettori perpendicolari operando

il prodotto scalare.

Per poter rendere i vettori ortogonali tra di loro è

possibile operare la procedura operativa di:

Ortogonalizzazione di Gram Schmidt

Prendo due vettori e li normalizzo.

Il vettore che rappresenta la parte ortogonale di rispetto ad , basta fare:

! "

=

!( "\ non è altro che la proiezione di su , rappresenta il prodotto scalare, e siccome voglio

! "

"\ .

un versore lo moltiplico per

DIMOSTRAZIONE:

RISPOSTA:

T T TT

= b a ;

T

(2) : (a b)

TT

a = a;

(3) : 99

100

(che implementa le relazioni viste in precedenza)

PROGRAMMA MATLAB:

RISULTATI: 101

Convenzione che riguarda un’unica rotazione intorno ad un asse.

= entità della rotazione

intorno all’asse

n = direzione del generico

asse.

Possiamo trattare le tre

componenti del vettore M

come se fossero i 3 gradi

di libertà da associare alla

matrice di giunto da cui

sia che n possono

essere derivate.

ESERCIZIO: 102

Stessa procedura dell’altra volta + estrarre dalla matrice di giunto i 3 gradi di libertà, gli angoli

#

relativi alla convenzione che fa riferimento ad un’unica rotazione intorno ad un asse ed interpretare

correttamente i risultati.

1. Definizione di matrice di rotazione che fa passare da pelvico laboratorio

à

2. Definizione di matrice di rotazione che fa passare da femore laboratorio

à

3. Determinazione della matrice di giunto

4. Estrarre dalla matrice di giunto i 3 angoli secondo la convenzione che fa riferimento al vettore

orientazione ed interpretarli in modo corretto come flesso-estensione, ab-adduzione, rotazione

interna-esterna.

RISOLUZIONE: 103

MATLAB:

Ho espresso direttamente il vettore nel sistema di riferimento fisso, il sistema di riferimento

_

anatomico prossimale, di pelvi.

L’asse Z del sistema pelvico è l’asse medio laterale, e quindi una rotazione di 14,0362° intorno a

questo asse mi rappresenta una flesso-estensione. (= a quello ottenuto con la convenzione di

Grood e Suntay).

Pura rotazione di flesso estensione, con ab-adduzione e rotazione interno/esterno pari a 0. 104

LEZIONE 15

ESERCIZIO:

Trovare le formule per l’implementazione in Matlab che permettono di scrivere gli angoli

sugli assi di giunto

come la proiezione del vettore orientamento #

( , , , ) relativi alla convenzione di Grood e Suntay.

" $ %

SVOLGIMENTO:

è definito sul sistema di riferimento supposto fisso, sistema di riferimento prossimale,

, , )

pelvico, ortogonale. Dobbiamo proiettare il vettore sulla terna non ortogonale (

" $ %

degli assi articolari relativi alla convenzione di Grood e Suntay, quindi:

trovare la direzione di questi assi nel sistema di riferimento pelvico, fisso

1.Dobbiamo , asse attorno a cui avviene la prima rotazione (la

ragionare su chi sia

2.Dobbiamo "

flesso estensione), è l’asse medio laterale, ovvero l’asse che coincide con la direzione

dell’asse Z nel sistema di riferimento pelvico, quindi, la direzione di nel sistema di

"

riferimento pelvico è la stessa del versore Z: (0,0,1)’

sarà la direzione dell’asse flottante, quello attorno a cui avviene la seconda

3.Quale

rotazione? Sappiamo che coincide con la direzione che l’asse x, del sistema di riferimento

distale occupa, dopo che, partendo da una situazione in cui tutti gli assi sono allineati,

assume dopo la rotazione intorno a Z: la direzione la devo esprimere rispetto al sistema di

riferimento pelvico, fisso dal distale al pelvico c’è una matrice di rotazione che fa

à che moltiplica (1,0.0):

passare dal mobile al fisso, &

matrice che esprime la direzione che l’asse (1,0,0) distale occupa nel sistema prossimale

dopo che è stata effettuata la prima rotaizone.

coinciderà con la direzione che l’asse y (asse longitudinale) del sistema di

4.L’asse %

riferimento distale occupa dopo che sono state effettuate le prime due rotazioni. 105

il vettore lungo questa terna di assi:

5.Proiettiamo

Quando la terna non è ortogonale, ma è una base (quindi i vettori sono linearmente

indipendenti: questo consente di poter invertire la matrice E), posso scrivere il vettore

, , ):

come combinazione lineare, tramite 3 coefficienti, dei vettori della base (

" $ %

= = .

Dove #

MATLAB:

( = coincide con la seconda colonna della matrice di rotazione corrispondente alla

%

convenzione di Grood Suntay.)

Si tratta di un puro movimento di flesso/estensione, visto che gli altri due angoli sono pari

a zero e la componente lungo l’asse articolare attorno a cui avviene la flesso estensione è

la .

" 106

MOTO TRASLATORIO

Dipendenza della descrizione della cinematica articolare dalla scelta della

convenzione angolare

Le terne che distano di + percentualmente sono quelle che hanno come 2&