Algebra lineare e Geometria - Sistemi lineari

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

Appunti di Algebra lineare e geometria. Introduzione ai sistemi lineari, definiti come insiemi di equazioni lineari in più incognite, rappresentabili nella forma matriciale compatta AX = B, dove A è la matrice dei coefficienti, X il vettore delle incognite e B il vettore dei termini noti.
Si discutono le condizioni di esistenza e unicità delle soluzioni: un sistema quadrato ha un’unica soluzione se il determinante di A è diverso da zero (teorema di Cramer), mentre per sistemi con determinante nullo si applica il teorema di Rouché-Capelli, che confronta il rango della matrice dei coefficienti con quello della matrice completa.

Viene approfondita la distinzione tra sistemi omogenei e non omogenei, con particolare attenzione alle soluzioni banali e non banali. Il testo propone diversi esempi di risoluzione tramite calcolo diretto del determinante e uso del metodo di Gauss, sia per la risoluzione che per la determinazione del rango. Si introduce la nozione di matrice a scalini, utile per individuare i pivot e quindi il rango del sistema. L’approccio è progressivamente applicativo, con esercizi e casi particolari che mostrano le varie tipologie di soluzioni: nessuna, una o infinite.

…continua

Anteprima

Vedrai una selezione di 3 pagine su 7

Algebra lineare e Geometria - Sistemi lineari Pag. 1

Algebra lineare e Geometria - Sistemi lineari Pag. 2

Anteprima di 3 pagg. su 7.
Scarica il documento per vederlo tutto.

Scarica

Algebra lineare e Geometria - Sistemi lineari Pag. 6

Disdici quando
vuoi

Acquista con carta
o PayPal

Scarica i documenti
tutte le volte che vuoi

Estratto del documento

ESERCIZIO

Risolueve i€ sistema omogeneo associato

raò

Xi-X2+K3=0

La wa'vice A dei coeFficienti e Da stessa di prima, quindi A% 0 e il sistema o un'unica

soluzione. Quale ?

{§) perche un sisTewa. omogeneo ha sempre almeno o soluzione banale.

PROPOSIZIONE

Lu sisTemo quadva’\'o omogeneo ho sofomente o sofuzione banale se e solo se det A #0.

DIM

Dal teovemo di Cramev.

ESERCIZIO (11/10/2021)

Per quali valovi del pavametvo K il sistema Wo. um'unica soluzione?

Xi+2Xz-Xz =4

X, - Xz +KK3

-OQ

2%+ Xz-2%X4=-2

4 2 -4

A’H î Kll det A=2+4k-41-2-K+ 4- 3K+3

Ln'unica. soluzione 4> der A#0 4=> K#-4

Qual e a soluzione (quamolo k#-4)?

o1 K

àl_z 4 -zl = 2-Uk+0+2-K+40 = -SK+4

X4 TGt A

= LA 3K+3 3K+3

4 4 -4

det|i o K

2 -2 -2| =0%+2K+2-O+2k+2 - AK+4 - 4

Xl:T 3K+3 2K+3 3

det |4

1 4 5

de S| - 2+10+4+2+044 - 3 - 3

RKAZ

FSH3

3K+3

X377 gk A

— SK+4

BK+3

Sobluzione: 4/3

K+d4

TEOREMA DI ROUCHE — CAPELLI

Lo malvice c.ompeefo… del sis¥emo. e la matvice che ollemamo da A aggiongendo

o colonma dei Termini noti.

ESEMPIO +K-3 = 4d

Lo malvice completa del sistema {1x.+x,=o

Xy Xz +Xg=-4

-4 4

e c-|2 0 40

4-4 4 -4

Chiamiamo A. Az,...,

An b colomme della matrice inwmp&f\'o. A

ForMA semi-comenTia: %, Avtx.

A +... + xwAu= B

ESEMPIO K+ ka- = d

Lo formo sewmi-compatio del sistema (Zx.*is’o e:

e)I (1] i-K3 -A

TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI

Un sisfema ho (almeno) ona soluzione ev A=vg C.

Dallo Forma semi-compatra

X A+, Azt

+ Xn An= B

vediamo che esiste una. soluzione del sistema se e solo se @ e combinazione lineave

olel& colomne di A , ovvero

se e solo se vgA-vgC. #

Se v A-vg

C= p, come Trovove (tulle) le soluzioni 7

1. Troviamo una solfomatvice pxp di A con det+0.

2. Cancelliamo le equazioni che won covvispondono allo soltomatvice scelta.

3. Povtiamo a seconolo membro tulte le incognite che non corrispondono alla soltomatrice

scelto. (tali incognite , che sono w-p, favamno da pavametri).

h E vimasto un sistema quadvato (con matvice associata con det#+0 )che ha un'unica

soluzione pev ogni n-p pavametvi, owevo a 00" P soluzioni.

OSSERVAZIONE

00° soluzioni=um'unica soluzione

ESERCIZIO X+ 2x2+Bx3= 2

Risoluere i€ sistema ] X - Xa=4

AQx 2%z +2%3=2

42 3 423 2

A=]14 0 -1 C={40 -1 4

22 2 22 2 2

g A=2 vgC=3 vg A #vg C = 2 soluzioni

ESERCIZIO r+ 2x2+13x3= 2

Risolueve i€ sistemoa [X. - X;=i :

2x 2%, +2xX3= 3

123 123 2

A=| 10 -1 C-| 10 -1 4

222 22

2 3

g A=2 vgC=2 =13

Quali sono Ce soluzioni P NI

Troviamo una soffomatvice 2x 2 di A con det#0, cancelliamo le equazioni “Fuovi

dalla soltomatrice, portiomo a destva le incognite “Fuori” dalla sottomatrice.

{ Xi+2X2=2-

X 4+%3

A:(1 2) det A--2

(z-sx, z)

x,-detlaexs o) - -24+xa) 4+ xa

2 -2

(1 2-3%X3

x,-detl1 4+%s = (44%:)-02-3%3) - 4X3-4 - 4-hX3

-2 -2 -2 -2

4+x3

insieme delle soluzioni = 4- ‘;Xs :x3 € IR

ESERCIZIO (15/10/2021) 2%, +%Xz-X3=0

Dive, pev ognt keR quante soluzioni Wo. i€ sistema [(k—l\ K- Xz +X2=0

2x, 4%z +(4-2K)X3=0

2 4 A

A=|K-2 -1 1 oet A=2k(k-4)

2 4 41-2k |

Pev K#0, 4 det A#0 I un'unica soeua.ov\e,( ©oo

2 4 A 32

Pev K=0, vgA-vg|-2 -4 Î =2=v9C, quindi ci sono co “ soluzioni.

2 41 soluzioni.

2 i -4 - =

sone

quindi

C,

Î.:J_…fg

-1

vgA-vg[-1

k=4,

Pev 2 i-

Una matvice mxn si dice a scalini se soddisfo le seguenti dve proprieta:

- se una viga & nulla, tutte le vighe sotto ad essa sono wolle

-soffo i primo elemento won nullo di ciascuna vigo e solto Tulri gli zevi che bo

pveceolono, ci sono elementi nulli.

ESEMPIO

TC primo elemento non nullo di una viga e detto piuot olella viga

OSSERVAZIONE

Se A e o scalini, vgA=nomevo di vighe non mulle (pevche sono tutte

lineavmente indipendenti)

Un sistema. si dice a. scalini se la sua matrice completa e a scalini. Pev il Teovema

di Rovche- Capelli, un sistema a scalini ho (almeno) una soluzione se e solo se

B'ultimo piuot olella motvice completo C non sto. sull'ultima colonna ( Lo

colonno. dei termini noti).

Se il sistema No soluzioni, ne ho 3", dove v=numero di pivot.

Come tvoviamo le soluzioni ?

- Povtiamo a destra le incognite che corrispondono a colonne su cui non caolono i

pivot (Fovoanno da pavametvri)

- Ofteniamo un sistema con matvice ‘Ì'viansoeaxe supeviove: ha una soluzione per ogni

scelto dei parametvi.

ESERCIZIO i+ X2+2X3-Xy=2

Risolueve il sistemo | X3- Xu=-4

Fru= 14

i 4 2 4 i 4 2 4 2

A=[0 0 41 -1 C-|0

0 4 4 4

0 0 0 7 0 0 0 7 44

Nesson pivet di C cadle nella colonna dei fevmini noti. vg A-vg C.

PorTiamo a olestva le incognite “non pivet™: otteniamo un sistema Triangolave con

i pivot sullo diagonale, quindi con olet #0.

X+ 2%X3-

K= 2-Xe

Xz-Xg=-4

FXq=4l

Un'unica. soluzione per ogni scelta de€ povometvo X2. Sivisolue a vitveso:

Ya=2, X3=4 , X4<2-X.. 2-Xz

Tnsieme delle soluzioni: {( î; ) :X;c\p\ì

2 METODO DI GAUSS

Due sistemi si dlicono equiva lenti se hanno le stesse soluzioni.

Consideviamo Ce se@m‘\’- operazioni, olette opevozioni elementavi:

SUL SISTEMA SULLA MATRICE

-scambiave olve equazioni - scambiave odve vighe

Dettagli

Publisher

lucy.burzy

A.A. 2021-2022

7 pagine

SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher lucy.burzy di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra lineare e geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università Politecnica delle Marche - Ancona o del prof Bolognini Davide.