Analisi Matematica – Esercizi, problemi e formule di Analisi Matematica

Appunti di Analisi matematica che al loro interno presentano esercizi, problemi e formule sulle principali definizioni che vengono trattate nell'ambito della disciplina. Si tratta di tutta una serie di esercizi, problemi e anche formule analizzano vari concetti di analisi matematica molto importanti come per esempio la derivata di una funzione inversa, la discontinuità di una funzione, lo studio di una funzione. Di seguito sono anche proposti importanti teoremi di Analisi matematica come per esempio il celebre Teorema di Lagrange, con analisi delle sue conseguenze, il calcolo integrale, il differenziale e il suo calcolo, il flusso di un campo vettoriale, l'integrale definito secondo Riemann, l'ipotesi del continuo, il concetto di limite, le matrici, i numeri naturali, la proporzionalità diretta, proporzionalità inversa e dipendenza lineare, la definizione per esempio di logaritmo. Tra gli argomenti presenti all'interno di questi contenuti di Analisi matematica vi sono anche la discontinuità di una funzione, il dominio, le derivate parziali. Mediante gli appunti approfonditi che sono presenti nell’ambito di questa categoria di appunti tutti gli utenti del sito avranno l’opportunità di conoscere ancora più a fondo tutte le nozioni di Analisi matematica ancora meglio, potendo dare il meglio nell’ambito delle loro interrogazioni scolastiche e facendo bella figura davanti ai loro professori e compagni di classe.

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Derivate: F(x) = Arctan ( Log Frac{1}{x} )

Calcolare la derivata della funzione f(x) = arctan ( log frac{1}{x} ) f'(x) = frac{1}{1 + log^2 frac{1}{x}} cdot x cdot (-1) cdot frac{1}{x^2} = frac{-1}{x cdot ( 1 + log^2 frac{1}{x} )}

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Derivate: F(x) = Frac{-1}{2 Sin^2 X} + Log Tan X

Calcolare la derivata della funzione f(x) = frac{-1}{2 sin^2 x} + log an x f'(x) = frac{4 sin x cos x}{4 sin^4 x} + frac{1}{ an x} cdot frac{1}{cos^2 x} = frac{1}{ an x} cdot ( frac{1}{sin^2 x} + frac{1}{cos^2 x} ) = frac{cos

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Derivate: F(x) = Frac{1 + X Arctan X}{sqrt{1 + X^2}}

Calcolare la derivata della funzione f(x) = frac{1 + x arctan x}{sqrt{1 + x^2}} f'(x) = frac{( arctan x + frac{x}{1+x^2} ) cdot sqrt{1 + x^2} - (1 + x cdot arctan x) cdot frac{x}{sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2} = frac{1}{1 + x^2} cdot g[ frac

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Derivate: F(x) = Frac{x}{sqrt{log X}}

Calcolare la derivata della funzione f(x) = frac{x}{sqrt{log x}} f'(x) = frac{sqrt{log x} - x cdot frac{1}{2} cdot (log x)^{-1/2} cdot frac{1}{x}}{log x} = frac{2 cdot log x - 1}{2 cdot log x sqrt{log x}}

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Derivate: F(x) = Log [ Cos ( Frac{x - 1}{x} ) ]

Calcolare la derivata della funzione f(x) = log [ cos ( frac{x - 1}{x} ) ] f'(x) = frac{1}{cos ( frac{x - 1}{x} )} cdot [ -sin ( frac{x - 1}{x} ) ] cdot frac{1}{x^2} = -frac{1}{x^2} dot an frac{x - 1}{x}

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Derivate: F(x) = Log Frac{1 + Sqrt{sin X}}{1 - Sqrt{sin X}}

Calcolare la derivata della funzione f(x) = log frac{1 + sqrt{sin x}}{1 - sqrt{sin x}} f'(x) = frac{1}{frac{1 + sqrt{sin x}}{1 - sqrt{sin x}}} cdot g[ frac{frac{1}{2 cdot sqrt{sin x}} cdot cos x cdot (1 - sqrt{sin x}) + (1 + sqrt

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Derivate: F(x) = Log Sin X - X Cdot Cot X

Calcolare la derivata della funzione f(x) = log sin x - x cdot cot x f'(x) = frac{1}{sin x} cdot cos x - cot x + x cdot frac{1}{sin^2 x} = cot x - cot x + frac{x}{sin^2 x} = frac{x}{sin^2 x}

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Derivate: F(x) = Log_x 5

Calcolare la derivata della funzione f(x) = log_x 5 = frac{log 5}{log x} f'(x) = frac{-log 5 cdot frac{1}{x}}{log^2 x} = -frac{log 5}{x cdot log^2 x}

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Derivate: F(x) = X Cdot E^{sin X}

Calcolare la derivata della funzione f(x) = x cdot e^{sin x} f'(x) = 1 cdot e^{sin x} + x cdot e^{sin x} cdot cos x = e^{sin x} cdot (1 + x cos x)

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Derivate: F(x)=sen^2(x)

Svolgimento: La derivata di sen^2(x) si calcola con la regola di derivazione delle funzioni composte. Infatti abbiamo: 1) la funzione seno 2) il quadrato della funzione seno Dunque si ha: Dsen^2(x)=2*sen(x)*Dsen(x)=2*sen(x)*cos(x)

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Derivate: G(x)=(ln 3x^2)^2

Derivare la seguente funzione g(x)=(ln 3x^2)^2 Dobbiamo derivare una funzione elevata al quadrato; quindi ricordiamo la formula generale Df^(k)(x)=k*f'(x)*f^(k-1)(x) Nel nostro caso k=2 Quindi il risultato è La derivata della base (della potenza,

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Derivate: Y=((x+1)^2)/(x-1)^3

{etRating 2} Ricordiamo innanzitutto la regola di derivazione di funzioni di questo tipo: y=f(x)/g(x) y'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2

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Derivate: Y=1/(sqrt(x^3))

Svolgimento: y=1/(sqrt(x^3))=x^(-3/2) Ora procediamo a calcolare la derivata seguendo la normale regola di derivazione Essendo y=x^(-3/2)=>y'=-3/2*x^(-3/2-1)=-3/2*x^(-5/2)=3/(2(sqrt(x^5))) .

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Derivate: Y=1/sqrt(1+x^2)

Svolgimento: y=1/sqrt(1+x^2)=(1+x^2)^(-1/2) Possiamo quindi considerare la derivata della funzione y=(1+x^2)^(-1/2) y'=(-1/2)[(1+x^2)^(-3/2)]*2x (Abbiamo derivato anche la funzione nella parentesi) Semplificando otteniamo y'=-(x/((1+x^2)sqrt(1+x^2)

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Derivate: Y=e^(-2x^2)

Svolgimento: Ricordiamo che se f(x)=e^(g(x))=>f'(x)=g'(x)e^(g(x)) Pertanto se y=e^(-2x^2)=>y'=(-4x)*e^(-2x^2) .

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Derivate: Y=e^(-2x)

Svolgimento: Ricordiamo che se f(x)=e^(g(x))=>f'(x)=g'(x)e^(g(x)) Quindi se y=e^(-2x)=>y'=(-2)*e^(-2x) .

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Derivate: Y=ln(sqrt(1+4x^2))

Svolgimento: Sfruttando le proprietà dei logaritmi si ha: ln[(1+4x^2)]=(1/2)ln[1+4x^2] Derivando si ottiene: (1/2)[D(1+4x^2)/(1+4x^2)]=(1/2)[8x/(1+4x^2)]=4x/(1+4x^2) .

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Derivate: Y=sinx/(1+tanx)

Svolgimento: y=D((sinx)/(1+tanx)) y=((D(sinx))(1+tanx)-(sinx)(D(1+tanx))/(1+tanx)^2) y=((D(sinx))(1+tanx)-(sinx)(D(1)+D(tanx))/(1+tanx)^2) y=cosx(1+sinx/cosx)-(sinx)(1/cos^2x)/(1+sinx/cosx)^2 y=cosx((cosx+sinx)/cosx)-sinx/cos^2x/(1+(sin^2x/cos^2x

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Derivate: Y=x^2+2x+2

Svolgimento: dobbiamo utilizzare il seguente teorema: D[f(x)+g(x)]=Df(x)+Dg(x) posto: f(x)=x^2, g(x)=2x, h(x)=2 otteniamo Df(x)=2x Dg(x)=2 Dh(x)=0 quindi, ricordando la formula di derivazione della somma di funzioni, ottieniamo: D(x^2+2x+2)

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Derivate: Y=x(e^x)ln(x)

Svolgimento: D(x*(e^x)*ln(x))= =xln(x)*D(e^x)+e^x*D(xlnx)= =xlnx*e^x+e^x*D(xlnx)= =xlnx*e^x+e^x*(x*D(lnx)+lnx*D(x))= =xlnx*e^x+e^x*(1+lnx)=e^x*(xlnx+lnx+1)

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