Geometria - introduzione

In questo appunto si descrivono le prime nozioni di geometria, i concetti primitivi di punto, retta e piano; le definizioni di semiretta e segmento; gli angoli; i triangoli e i criteri di congruenza e similitudine. Brevi cenni storici che portarono alla nascita della geometria euclidea.

Cenni storici sulle origini della geometria

La costruzione dei concetti elementari della geometria è avvenuta come risposta a problemi concreti.

Erodoto fa risalire le origini della geometria agli egizi, che dovevano ridisegnare i confini dei campi dopo le inondazioni del Nilo. Solo con Euclide la geometria diventa una scienza e risulta la prima scienza a trovare una sistemazione logica, seguendo il ragionamento ipotetico-deduttivo. Gli oggetti di studio della geometria euclidea non sono concreti, ma sono modelli statici e ideali del mondo che ci circonda, figure che possono essere costruite con riga e compasso.
Il primo trattato di matematica è il testo di Euclide intitolato “Gli elementi”. In esso sono esposti i teoremi, con le dimostrazioni delle proprietà delle figure, a cui si perviene per deduzioni logiche date certe premesse cioè i postulati. La geometria euclidea domina incontrastata per secoli; si credeva che fosse l’unico modo con cui l’intelletto potesse conoscere il mondo. Nella prima metà del XVII secolo, ad opera di Cartesio, Si affermò la geometria analitica che si fonda su un legame stretto tra algebra e geometria. Questa nuova disciplina si rivelò di estrema utilità a Newton per la sua teoria dei moti planetari. Nel XIX secolo alcuni matematici cominciando a negare uno o più principi fondamentali della geometria euclidea costruirono altre geometrie che portarono una vera rivoluzione nell’ambito delle scienze matematiche.

Enti fondamentali della geometria: punto, retta piano

La geometria euclidea è come un grande edificio le cui fondamenta sono solo tre elementi: il punto, la retta, il piano.
Di questi enti non si dà definizione perché sono considerati enti primitivi.
Cosa significa che sono enti primitivi?
Significa che già possediamo dentro di noi l’idea di questi elementi. Se con la matita lasciamo un segno minuscolo sul foglio stiamo rappresentando il punto geometrico, se uniamo due punti con una linea stiamo rappresentando un tratto di retta, se uniamo almeno tre punti abbiamo delimitato una porzione di piano ovvero abbiamo costruito un poligono triangolare.
Gli enti primitivi non hanno una definizione formalizzata tuttavia tutti gli oggetti geometrici sono formati da punti, rette, piani e dunque a partire da questi “mattoni” indispensabili è possibile costruire tutte le strutture più complesse.
Se proprio vogliamo formalizzare questi elementi possiamo anche dire che un piano è un insieme i cui elementi sono dei punti, quando questi punti sono aggregati secondo particolari relazioni ovvero quando seguono tutti la stessa direzione formano una retta. La retta si può rappresentare intuitivamente come la linea più breve che congiunge due punti A e B indefinitamente prolungata nei due versi.
Nel piano cartesiano riconosciamo una retta orizzontale che è l’asse delle ascisse e una retta verticale che è l’asse delle ordinate.

Per ulteriori approfondimenti sugli enti fondamentali della geometria vedi qua

Semirette e segmenti

Consideriamo una generica retta r e su di essa un punto O. Ora pensiamo alla retta come ad un filo di lana e con le forbici tagliamo proprio nel punto O, il nostro filo è rimasto diviso in due parti e ciascuna di esse prende il nome di semiretta cioè metà retta.
Una semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta viene divisa da un suo punto.
Prendiamo sempre il nostro bel filo di lana e questa volta facciamo due tagli, staccandone un pezzo, abbiamo ottenuto un segmento, una porzione di retta compresa tra due punti che sono gli estremi del segmento.
Ricapitolando:

• Una retta è un insieme infinito di punti tutti allineati non ha origine e non ha,fine.
• Una semiretta è un insieme infinito di punti tutti allineati con un punto d’origine, e non ha fine.
• Un segmento è una porzione di retta compresa tra su due suoi punti, il segmento ha un’origine e ha una fine che sono individuati dai suoi estremi.

Quando uniamo due punti del piano con una linea di forma qualsiasi essa è detta genericamente linea curva.
Se disponiamo tanti segmenti l’uno dopo l’altro in modo che abbiano sempre un estremo in comune stiamo costruendo una linea spezzata cioè una linea a zig-zag.
Una linea curva o spezzata, può essere aperta oppure chiusa.

Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni tra segmenti vedi qua

Angolo, una parte di piano

Un angolo si determina quando una semiretta viene fatta ruotare intorno al punto di origine producendo un cambio di direzione.
Quando vogliamo disegnare un angolo sul nostro foglio dobbiamo prima tracciare il punto d’orogine e poi da questo punto tracciare le due semirette, in questo modo abbiamo diviso il piano in due parti che sono l’angolo convesso e l’angolo concavo.
Diamone la definizione per capire la differenza.
Angolo convesso è la parte del piano racchiusa tra le due semirette perciò non contiene i loro prolungamenti.
Angolo concavo è la parte del piano che contiene i prolungamenti delle 2 semirette.
Esistono tanti aggettivi per qualificare l’angolo che dipendono sia dalla posizione reciproca quando ne abbiamo almeno due, oppure in base alla loro ampiezza rispetto ad angoli di riferimento o angoli notevoli.
Angoli consecutivi sono due angoli che hanno lo stesso vertice, hanno in comune i punti di un lato e gli altri due lati non comuni appartengono a rette diverse.
Angoli adiacenti quando oltre ad essere consecutivi, i lati non comuni sono uno sul prolungamento dell’altro e giacciono sulla stessa retta.
Gli angoli adiacenti sono sempre angoli supplementari perché l’ampiezza della loro somma è di 180°, un angolo piatto.

Per ulteriori approfondimenti sui tipi di angoli vedi qua

Dai segmenti ai poligoni

Per formare un poligono dobbiamo avere almeno tre segmenti consecutivi che possiamo unire in modo tale da racchiudere una parte del piano.
La figura che si forma è definita convessa se i prolungamenti di ciascuno dei lati non ricadono all'interno della figura. Definiamo la figura concava se almeno uno dei suoi lati ha il prolungamenti all'interno di essa.
I triangoli sono i più semplici dei poligoni, sono formati da tre lati e tre angoli. Possiamo classificarli sia in base al tipo di lati che al tipo di angoli.
Triangolo equilatero: ha tutti i lati e gli angoli congruenti, e l’ altezza e la mediana coincidono
Triangolo isoscele: ha i due lati lati obliqui congruenti è gli angoli adiacenti alla base anche.
Triangolo scaleno: ha tutti i lati diversi.
Si possono classificare anche in base agli angoli:
Triangolo acutangolo: quando i 3 angoli sono tutti acuti.
Triangolo rettangolo: quando ha un angolo retto e non più di uno.
Triangolo ottusangolo: ha un angolo ottuso e non più di uno.
In ogni triangolo è possibile tracciare dei segmenti particolari e per ciascuno di essi ve ne sono tre che si intersecano sempre in un punto interno o esterno al triangolo.
Mediana: è il segmento che congiunge un vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto. Le tre mediane si incontrano in un punto detto baricentro del triangolo.
Altezza relativa al lato: è il segmento perpendicolare condotto per il vertice a ciascun lati opposto. Le tre altezze che si incontrano nell’ortocentro.
Bisettrice: ė la semiretta che ha origine in ciascun vertice e divide l’angolo in due parti congruenti. Le tre bisettrici si intersecano in un punto detto incentro. tutti questi punti sono detti punti notevoli di un triangolo.

Per ulteriori approfondimenti sui punti notevoli vedi qua

Criteri di congruenza dei triangoli qualsiasi

Per dimostrare la congruenza tra due triangoli esistono 3 criteri di congruenza dei quali riportiamo denunciati. Ricordiamo che se due figure piane sono congruenti allora con un movimento rigido si possono sovrapporre senza modificarne gli angoli.
Il primo criterio di congruenza afferma che: 2 triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti 2 lati e l’ angolo tra essi compreso.
Il secondo criterio di congruenza afferma che: 2 triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli ad esso adiacenti oppure se hanno congruenti 2 angoli e il lato fra essi compreso.
Il terzo criterio di congruenza afferma che: 2 triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti tutti e tre i lati.

Per ulteriori approfondimenti sulla relazione di congruenza vedi qua

Criteri di similitudine dei triangoli, enunciati

Vediamo le proprietà della relazione di similitudine tra triangoli.
È una relazione riflessiva: ogni triangolo è simile a se stesso.
È una relazione simmetrica: se un triangolo 1 è simile a un triangolo 2 Allora il triangolo 2 è simile al triangolo 1.
È una relazione transitiva: se il triangolo 1 è simile al triangolo 2 e il triangolo 2 è simile al triangolo 3 Allora il triangolo 1 è simile al triangolo 3.
In virtù di queste tre proprietà la similitudine è una relazione di equivalenza. Esistono tre condizioni sufficienti per affermare che due triangoli sono simili, chiamate criteri di similitudine enunciamoli.
Primo criterio di similitudine: Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti.
Secondo criterio di similitudine: Due triangoli sono simili se hanno due lati ordinatamente in proporzione e l'angolo compreso fra essi congruente.
Terzo criterio di similitudine: Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente in proporzione
Dai criteri derivano i seguenti teoremi:

• Nei triangoli simili le basi sono proporzionali alle rispettive altezze.
• Nei triangoli simili, i perimetri sono proporzionali a due lati omologhi.

Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà delle proporzioni vedi qua