Angoli notevoli: descrizione e regole

In questo appunto di geometria piana troverai del materiale sugli angoli. Iniziamo con la definizione geometrica dell’angolo, Esaminiamo poi i vari modi in cui due o più angoli possono essere posizionati l'uno rispetto all'altro. Definiamo i principali angoli notevoli e proviamo a visualizzarli usando come riferimento le lancette di un orologio.

Come definire un angolo

Il modo più semplice per disegnare un angolo è quello di munirci di un foglio da disegno e tracciare su di esso due semirette che partono dallo stesso punto, detto origine delle semirette.

Con questo semplice disegno abbiamo suddiviso il nostro foglio da disegno in due parti una racchiusa tra le due semirette e l'altra al di fuori di esse.
L'angolo e ciascuna delle due parti di piano in cui esso resta diviso da due semirette aventi l'origine comune.
La parte di piano compresa tra le due semirette è l’angolo convesso.
La parte di piano che si trova all’esterno dei due semirette è l’angolo concavo.
Se prolunghiamo le due semirette dalla parte opposta a cui le abbiamo disegnate queste finiscono nell'angolo concavo.
Il punto d’origine delle due semirette si chiama vertice dell’angolo, le due semirette costituiscono i lati dell’angolo.

Posizioni reciproche di due o più angoli

Due o più angoli si dicono consecutivi, quando sono disegnati uno dopo l'altro in modo che ogni coppia di essi abbia un lato in comune e anche il vertice.
Due angoli si definiscono adiacenti quando sono consecutivi e quando i lati che non sono in comune appartengono alla stessa retta.
Se tracciamo due rette nel piano che si intersecano si formano quattro angoli che sono congruenti a coppie. Ciascuna di queste coppie costituisce angoli opposti al vertice.
Se le due rette si intersecano in modo da formare quattro angoli perfettamente uguali sono rette perpendicolari e i quattro angoli sono tutti retti.

per ulteriori approfondimenti sugli angoli vedi qua

Misure di angoli

Come si misura un angolo?
La dimensione di un angolo è definita dalla sua ampiezza.
Quando diamo la misura di un angolo in pratica stiamo assegnando ad esso un valore numerico che ne individua l'ampiezza e che permette poi di effettuare un confronto numerico tra altri angoli.
Ci sono due modi per misurare gli angoli mediante gradi, primi e secondi oppure in radianti. Il sistema di misura basato sul grado e i suoi sottomultipli è stato utilizzato per la prima volta dai babilonesi, nello studio dell’astronomia.
Il sistema numerico in cui rientra la misura dei gradi viene detto sistema sessagesimale, perché per passare da un’unità all’altra si va di 60 in 60.
Il grado è definito come la 360-esima parte di un angolo giro.
Per formare un grado occorrono 60 primi e per formare un primo occorrono 60 secondi.
L’altra unità di misura degli angoli è il radiante. Questa unità di misura non ha dimensione, si dice che il radiante è una grandezza adimensionale perché è definita come il rapporto tra due lunghezze.
L’ampiezza di un angolo espressa in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza di un arco AB e la misura del raggio della circonferenza:

Diciamo che un angolo misura 1 radiante, quando questo intercetta sulla circonferenza un arco AB della stessa lunghezza del raggio.
L’equivalenza tra radiante e grado è la seguente:

Quando una grandezza fisica possiede diverse unità di misura, è sempre possibile passare da un'unità di misura all'altra. La conversione tra le unità di misura degli angoli avviene attraverso delle semplici proporzioni: se l’angolo piatto viene espresso in radianti, in gradi sessagesimali deve comunque esprimere sempre un angolo piatto

Angoli notevoli

Possiamo considerare notevoli i seguenti quattro angoli:

• angolo nullo
• angolo retto
• angolo piatto
• angolo giro

L’angolo nullo ha un'ampiezza di 0° ed è l'angolo compreso tra due semirette coincidenti.
L’angolo retto ha un’ampiezza di 90° ed è l’angolo compreso tra due semirette perpendicolari.
Due semirette opposte, che appartengono alla stessa retta, determinano due angoli ciascuno dei quali si dice angolo piatto.
L’angolo piatto ha un'ampiezza di 180° e coincide con un semipiano. È un angolo convesso perché i prolungamenti dei suoi lati non sono al suo interno.
L’angolo giro ha un'ampiezza di 360° ed è formato sempre da due semirette coincidenti ma comprende tutti i punti del piano.

Visualizzare gli angoli in modo semplice.

Per visualizzare l’angolo nullo possiamo pensare alle lancette dell'orologio quando sono le 12:00. La lancetta delle ore e la lancetta dei minuti sono le due semirette che hanno origine comune nel centro dell'orologio. Quando sono le 12:00 le due lancette sono perfettamente sovrapposte quindi non formano alcun angolo. L’ampiezza dell’angolo è pari a zero.
Possiamo far girare la lancetta dei minuti in modo che compia un giro completo mantenendo ferma la lancetta delle ore.
Con questa semplice operazione abbiamo descritto un angolo giro ovvero un angolo di 360°. Le due semirette dell’angolo sono nuovamente sovrapposte ma la semiretta corrispondente alla lancetta dei minuiti, ha fatto un giro completo e si è portata sull’altra.
Per visualizzare un angolo piatto dobbiamo portare il nostro orologio alle 12:30. Le due semirette dell’angolo, le nostre lancette, si trovano dalla parte opposta rispetto alla loro origine comune. Si sono formati due angoli piatti.
Proviamo infine a visualizzare anche l'angolo retto, portando le lancette a formare le 12:15.
Le due semirette dell’angolo sono perpendicolari tra loro e formano un angolo di ampiezza pari a 90°.
per ulteriori approfondimenti sull'orologio vedi anche qua

Angoli acuti, ottusi, complementari e supplementari

Dopo aver definito gli angoli notevoli è possibile classificare gli angoli confrontando la loro ampiezza con quella dell'angolo retto e dell’angolo piatto.
Quando l’ampiezza di un angolo è minore di 90° l'angolo è detto acuto.
Due angoli la cui somma è pari a un angolo retto si definiscono angoli complementari.
Quando l’ampiezza di un angolo è maggiore di 90° ma minore di 180° l’angolo viene detto ottuso.
Due angoli la cui somma è pari a un angolo piatto si definiscono angoli supplementari.
La prima classe di poligoni che sono i triangoli formati da tre lati e tre angoli, vengono classificati anche in base alle ampiezze dei loro angoli.
Abbiamo infatti il triangolo rettangolo caratterizzato dalla presenza di un angolo retto, il triangolo ottusangolo in cui è presente un solo angolo piatto, il triangolo acutangolo con i tre angoli tutti acuti. Un esempio di triangolo acutangolo è il triangolo equilatero che ha tre angoli congruenti e di ampiezza pari a 60°.