Poligono concavo

In questo appunto di geometria piana si tratta della definizione di poligono concavo. La concavità e la convessità di una figura piana sono una caratteristica importante e spesso genera confusione la loro distinzione. Cerchiamo un modo semplice per ricordare la differenza tra figura concava e figura convessa e vediamo come trasformare due poligoni convessi come il triangolo e il rettangolo rispettivamente in un quadrilatero e un pentagono concavo.

Concavo come le gobbe del cammello

Il cammello è un mammifero che vive nell'Asia centrale e sul suo dorso sono presenti due gobbe separate da una concavità.

Pensiamo al cammello ogni volta che in geometria sentiamo l’aggettivo concavo.
In questo modo abbiamo la certezza di aver intuito il concetto di figura concava rispetto a quella convessa.
Una figura geometrica che può essere piana oppure solida nello spazio viene detta concava se esiste almeno una coppia di suoi punti distinti, tali che il segmento che li unisce non è tutto contenuto nel poligono stesso.
In geometria piana abbiamo l’angolo concavo e il poligono concavo.
In geometria solida esiste il corrispondente angoloide concavo e anche il poliedro concavo.
Per ulteriori approfondimenti sui poliedri vedi qua

Angolo concavo definizione

Se in un piano disegniamo due semirette che hanno l'origine in comune questo viene diviso in due parti e ciascuna di esse è un angolo. Le due semirette sono i lati dell’angolo, Il punto da cui le abbiamo tracciato rappresenta il suo vertice.
La definizione dell'angolo, quale elemento derivato della geometria è la seguente:
Un angolo è ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso da due semirette che hanno l’origine in comune e che appartengono allo stesso piano. Il semipiano che non contiene i prolungamenti delle due semirette è l’angolo convesso. Il semipiano che contiene i prolungamenti delle due semirette è l'angolo concavo.
L’angolo concavo e l'angolo convesso in corrispondenza dello stesso vertice sono una coppia di angoli esplementari perché la loro somma forma l'intero angolo giro di ampiezza 360°.
L’angolo per essere concavo deve avere un ampiezza maggiore di 180°.
Nel caso limite di due angoli entrambi i piatti nessuno dei due è concavo perché nessuno dei due contiene i prolungamenti dell'altro.
Per ulteriori approfondimenti sugli notevoli vedi qua

Trasformazione del triangolo in un poligono concavo

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Per disegnare un poligono concavo possiamo partire, per semplicità, da un qualsiasi triangolo di vertici ABC, come quello riportato in figura:

Supponiamo che il nostro triangolo sia stato realizzato con un filo di lana. Se spingiamo verso l’alto sul lato AB nella figura si forma un incavo:

Il lato AB ora è formato da due segmenti consecutivi AK e KB che hanno in comune il vertice K.
In corrispondenza di questo vertice l’angolo esterno AKB è un angolo convesso, l’angolo interno AKB è un angolo concavo e il nostro triangolo inizialmente convesso si è trasformato in un poligono concavo.
Il poligono così modificato ora ha 4 lati e non più tre: AK, KB, BC e CA. Gli angoli che si trovano nei vertici A, B, C sono tutti acuti.

Trasformazione del rettangolo in un pentagono concavo

Con un ragionamento analogo a quanto abbiamo fatto per il triangolo, trasformandolo in un quadrilatero concavo, possiamo modificare un rettangolo in un pentagono concavo spezzando uno dei suoi lati.
Consideriamo un generico rettangolo di vertici ABCD e suddividiamo ad esempio il lato DC in due segmenti consecutivi con vertice comune K, in modo da formare l’angolo concavo.

In corrispondenza di questo vertice l’angolo esterno DKC è un angolo convesso, l’angolo interno DKC è un angolo concavo e il nostro rettangolo inizialmente convesso si è trasformato in un poligono concavo.

Il poligono così modificato è un pentagono concavo, ha 5 lati e non più quattro: AB, BC, CK, KD e AD.

Caratteristiche di un poligono concavo

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Questa definizione somiglia a quella dell’angolo concavo.

Vediamo ora quali sono le proprietà che caratterizzano questo tipo di poligoni.
La prima riguarda l’ampiezza degli angoli interni. Nel poligono convesso la somma degli angoli interni è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno 2.
Per un quadrilatero convesso abbiamo un'ampiezza totale pari a 360°.
La somma degli angoli interni in un poligono concavo si ottiene con la stessa formula, moltiplicando 180° per il numero dei lati diminuito di 2:

Se consideriamo il quadrilatero concavo ottenuto dalla trasformazione del triangolo e tracciamo la diagonale che unisce il vertice C con il vertice K , si formano due triangoli in ciascuno dei quali la somma degli angoli interni è pari a 180°, perciò nel quadrilatero concavo la somma degli angoli interni vale 360° come per il rettangolo convesso o per il quadrato convesso.

La somma degli angoli interni di un poligono non dipende ha fatto dall'essere concavo o convesso ma solo dal numero dei lati.
Per stabilire in maniera molto rapida se un poligono è concavo o convesso basta tracciare le sue diagonali se almeno una cade all’esterno allora il poligono e concavo.
Lo stesso discorso si può fare per la somma degli angoli esterni, anche in questo caso vale sempre 360°, l'ampiezza di un angolo giro, e non dipende dalla natura del poligono quindi il fatto che questo sia convesso oppure concavo non influisce sul risultato.

Area e perimetro di un poligono concavo

In base agli esempi che abbiamo riportato nelle figure in alto ci rendiamo subito conto che il poligono concavo è un poligono irregolare ma per calcolare la misura del suo perimetro e la misura della superficie cioè la sua area basta ricorrere alle formule valide per i poligoni regolari.
Il perimetro si calcola sommando le misure dei lati:

Per calcolare l’area occorre suddividere il poligono in figure più semplici per le quali esistono già le formule. Tracciando le diagonali possiamo suddividere la sua superficie in tanti triangoli e poi applicare la formula per il calcolo dell'area del triangolo scegliendo opportunamente la base e l'altezza e quindi effettuando il semiprodotto di queste due dimensioni. Calcolata l’area dei triangoli individuati facciamo la somma di tutti questi valori e otteniamo l'area totale.
La figura a forma di stella sicuramente è un esempio di poligono concavo, caratterizzata da una certa regolarità. Il cuore di una a stella a 5 punte è un pentagono regolare e su ciascun lato del pentagono è costruito un triangolo isoscele. Sono due poligoni convessi per i quali è disponibile sia la formula dell’area che quella del perimetro in questo modo si può calcolare anche area e perimetro della superficie stellata.

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo di area e perimetro dei poligoni vedi qua